Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2373
i

Ре­ши­те не­ра­вен­ство |3 минус 4 ко­си­нус в квад­ра­те x|\leqslant1 плюс тан­генс в квад­ра­те x.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Имеем:

|3 минус 4 ко­си­нус в квад­ра­те x|\leqslant1 плюс тан­генс в квад­ра­те x рав­но­силь­но |3 минус 4 ко­си­нус в квад­ра­те x| мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­си­нус в квад­ра­те x конец дроби .

Сде­ла­ем за­ме­ну t= ко­си­нус в квад­ра­те x (t при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 0;1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка ), по­лу­ча­ем

|3 минус 4t| мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: t конец дроби рав­но­силь­но минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: t конец дроби мень­ше или равно 3 минус 4t мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: t конец дроби \undersett боль­ше 0\mathop рав­но­силь­но минус 1 мень­ше или равно 3t минус 4t в квад­ра­те мень­ше или равно 1.

Рас­смот­рим f левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 4t в квад­ра­те плюс 3t и най­дем об­ласть ее зна­че­ний на  левая квад­рат­ная скоб­ка 0;1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . Гра­фик f  — па­ра­бо­ла вет­вя­ми вниз с вер­ши­ной в t= минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби . Таким об­ра­зом, f воз­рас­та­ет на  левая квад­рат­ная скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка и убы­ва­ет на  левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби ;1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка Сле­до­ва­тель­но, наи­мень­шее зна­че­ние до­сти­га­ет­ся в 0 и в 1, а наи­боль­шее в  дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби . Вы­чис­лим зна­че­ния функ­ции в этих точ­ках:

f левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка =0; f левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 1;

f левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = минус целая часть: 4, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 64 плюс 3 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 18, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби .

Окон­ча­тель­но по­лу­ча­ем, что

f: левая квад­рат­ная скоб­ка 0;1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка arrow левая квад­рат­ная скоб­ка минус 1; дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \subset левая квад­рат­ная скоб­ка минус 1;1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка ,

а зна­чит не­ра­вен­ство вы­пол­не­но для лю­бо­го t при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 0;1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка и для лю­бо­го x при­над­ле­жит R .

 

Ответ:  R .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2378

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РСФСР, 1989 год, ра­бо­та 2, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Три­го­но­мет­ри­че­ские не­ра­вен­ства
?
Сложность: 6 из 10