Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2570
i

Опре­де­ли­те ко­ор­ди­на­ты точки гра­фи­ка функ­ций y= на­ту­раль­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс на­ту­раль­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , сумма рас­сто­я­ний ко­то­рой до осей ко­ор­ди­нат ми­ни­маль­на.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Рас­сто­я­ние от точки с абс­цис­сой x гра­фи­ка y=f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка до оси Oy равно |x|, а до оси Ox  — |f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка |. Об­ла­стью опре­де­ле­ния функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =\ln левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс на­ту­раль­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка яв­ля­ет­ся мно­же­ство всех по­ло­жи­тель­ных чисел, по­это­му сумма рас­сто­я­ний от точки гра­фи­ка y=\ln левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс на­ту­раль­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка с абс­цис­сой x до осей ко­ор­ди­нат в нашем слу­чае за­пи­шет­ся как

s левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =x плюс \abs\ln левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс на­ту­раль­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Опре­де­лим, при каких по­ло­жи­тель­ных x зна­че­ние вы­ра­же­ния, сто­я­ще­го под зна­ком мо­ду­ля, по­ло­жи­тель­но. При x боль­ше 0 не­ра­вен­ство на­ту­раль­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс на­ту­раль­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0 рав­но­силь­но не­ра­вен­ству на­ту­раль­ный ло­га­рифм дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те плюс 2x, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби боль­ше 0, а также не­ра­вен­ству x в квад­ра­те плюс 2x минус 8 боль­ше 0. Среди всех по­ло­жи­тель­ных x этому не­ра­вен­ству удо­вле­тво­ря­ют все x боль­ше 2.

Оче­вид­но, что при 0 мень­ше x мень­ше или равно 2 вы­пол­ня­ет­ся не­ра­вен­ство \ln левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс на­ту­раль­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0. Пе­ре­пи­шем функ­цию s левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка в виде

s левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = си­сте­ма вы­ра­же­ний x плюс \ln левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс на­ту­раль­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка при x боль­ше 2, x минус \ln левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка минус на­ту­раль­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка при 0 мень­ше x мень­ше или равно 2. конец си­сте­мы .

Ис­сле­ду­ем функ­цию s(x) при по­мо­щи про­из­вод­ной.

s' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = си­сте­ма вы­ра­же­ний 1 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x плюс 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби при x боль­ше 2,1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x плюс 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби при 0 мень­ше x мень­ше или равно 2. конец си­сте­мы .

По­лу­ча­ем, что s' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка не опре­де­ле­но, по­сколь­ку \undersetx\to 2 плюс 0\lim s' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка и \undersetx\to 2 минус 0\lim s' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка не сов­па­да­ют. Точка 2 яв­ля­ет­ся одной из кри­ти­че­ских точек функ­ции s левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка . Дру­гие точки опре­де­лим из усло­вия s' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =0. Если x боль­ше 2, то

1 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x плюс 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби боль­ше 0,

на этом про­ме­жут­ке кри­ти­че­ских точек нет. Пусть 0 мень­ше x мень­ше или равно 2, тогда

1 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x плюс 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби рав­но­силь­но x в квад­ра­те плюс 2x=2x плюс 2 рав­но­силь­но x= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

Кри­ти­че­ски­ми точ­ка­ми s левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка яв­ля­ют­ся 2 и ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та . Изоб­ра­зим на ри­сун­ке мо­но­тон­ность функ­ции s левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка : s' левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0, s' левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0, в точке x= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та про­из­вод­ная s' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка ме­ня­ет знак. Из ри­сун­ка, а также из не­пре­рыв­но­сти функ­ции s левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка в точке 2 сле­ду­ет, что свое наи­мень­шее зна­че­ние s левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка при­ни­ма­ет при x= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та . Ис­ко­мая точка левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ; на­ту­раль­ный ло­га­рифм дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ответ: левая фи­гур­ная скоб­ка левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ; на­ту­раль­ный ло­га­рифм дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2564

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1993 год, ра­бо­та 3, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ис­сле­до­ва­ние функ­ций, Си­сте­мы ли­ней­ных и квад­рат­ных урав­не­ний
?
Сложность: 9 из 10
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025