Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2557

Определите координаты точки графика функции \varphi (x) = корень из (\ln (3x в квадрате плюс 4x плюс 3)) , расстояние от которой до точки B(−2; 0) наименьшее.

Спрятать решение

Решение.

Область допустимых значений функции 𝜑(x) определяется условием \ln (3x в квадрате плюс 4x плюс 3) больше или равно 0, что равносильно 3x в квадрате плюс 4x плюс 2 больше или равно 0. Последнее неравенство выполняется при всех действительных x, следовательно, D(\varphi) = R . Расстояние между двумя точками минимально тогда, когда минимален квадрат этого расстояния. Квадрат расстояния от точки B до точки графика y = \varphi(x) с абсциссой x0 равен (x_0 плюс 2) в квадрате плюс \ln (3x в квадрате плюс 4x плюс 3). Найдем x, при котором значение функции

f(x) = (x плюс 2) в квадрате плюс \ln (3x в квадрате плюс 4x плюс 3)

на ℝ минимально. Функция f дифференцируема на ℝ, и

f'(x) = 2(x плюс 2) плюс дробь: числитель: 6x плюс 4, знаменатель: 3x в квадрате плюс 4x плюс 3 конец дроби .

Заметим,

f'(x) = 0 равносильно x плюс 2 плюс дробь: числитель: 3x плюс 2, знаменатель: 3x в квадрате плюс 4x плюс 3 конец дроби = 0 равносильно 3x в кубе плюс 10x в квадрате плюс 14x плюс 8 = 0.

Поищем его рациональные корни. Очевидно, что уравнение не имеет положительных корней. Среди рациональных «кандидатов» — числа −1, −2, −3, −8, −1/3, −4/3, −8/3.

Пусть g(x) = 3x в кубе плюс 10x в квадрате плюс 14x плюс 8. Производная g'(x) = 9x в квадрате плюс 20x плюс 14. Дискриминант трехчлена 9x в квадрате плюс 20x плюс 14 отрицателен, поэтому g'(x) больше 0 при всех действительных x, и g(x) возрастает на ℝ. Следовательно, уравнение имеет единственный корень.

Возьмем значения в точках: g( минус 1) = 1; g( минус 2) = минус 4. Единственный корень находится на интервале (−2; −1). Среди отмеченных нами рациональных чисел единственный претендент — число (−4/3).

g( минус 4/3) = минус дробь: числитель: 64, знаменатель: 9 конец дроби плюс дробь: числитель: 160, знаменатель: 9 конец дроби минус дробь: числитель: 56, знаменатель: 3 конец дроби плюс 8 = 0.

Таким образом, точка −4/3 — единственная критическая точка функции f, а поскольку f'( минус 2) меньше 0, а f'(0) больше 0, то (−4/3) — точка минимума, и в ней функция f принимает свое наименьшее значение.

Вычислим \varphi ( минус 4/3) = корень из (\ln 3) . Искомая точка имеет координаты  левая круглая скобка минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби ; корень из (\ln 3) правая круглая скобка .

 

Ответ:  левая круглая скобка минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби ; корень из (\ln 3) правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2551

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1993 год, работа 2, вариант 2
? Классификатор: Исследование функций, Нахождение точки множества, ближайшей к графику данной функции
?
Сложность: 8 из 10