№ 2557 
Выпускные экзамены по математике для школ России. Углубленная программа. 18. Применение производной в алгебре и физике
i
Определите координаты точки графика функции 
расстояние от которой до точки B(−2; 0) наименьшее.
Решение. Область допустимых значений функции 𝜑(x) определяется условием 
что равносильно 
Последнее неравенство выполняется при всех действительных x, следовательно, 
Расстояние между двумя точками минимально тогда, когда минимален квадрат этого расстояния. Квадрат расстояния от точки B до точки графика 
с абсциссой x0 равен 
Найдем x, при котором значение функции
на ℝ минимально. Функция f дифференцируема на ℝ, и
Заметим,
Поищем его рациональные корни. Очевидно, что уравнение не имеет положительных корней. Среди рациональных «кандидатов» — числа −1, −2, −3, −8, −1/3, −4/3, −8/3.
Пусть 
Производная 
Дискриминант трехчлена 
отрицателен, поэтому 
при всех действительных x, и g(x) возрастает на ℝ. Следовательно, уравнение имеет единственный корень.
Возьмем значения в точках: 
Единственный корень находится на интервале (−2; −1). Среди отмеченных нами рациональных чисел единственный претендент — число (−4/3).
Таким образом, точка −4/3 — единственная критическая точка функции f, а поскольку 
а 
то (−4/3) — точка минимума, и в ней функция f принимает свое наименьшее значение.
Вычислим 
Искомая точка имеет координаты 
Ответ:
Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ: Задание парного варианта: 2551
