1. Показательная и логарифмическая функции
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
2. Дана функция 
а) Вычислите 
б) Решите уравнение 
в) Найдите область определения выражения 
г) Решите неравенство 
Преобразуем функцию
а) Решим исходное выражение
б) Обозначим временно 
тогда получаем
Тогда 
или 
отсюда 
или 
в) Чтобы это выражение было определено, нужно чтобы выполнялось 
Это и есть ответ.
г) Преобразуем неравенство
Обозначим временно тогда неравенство примет вид
После обратной замены получим 
или просто 
откуда 
или 
Учитывая ОДЗ неравенства (см пункт в), окончательно 
Ответ: а) −3; б) 
в) 
г) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
в) г) Задание парного варианта: 1893
2. Дана функция 
а) Найдите наименьшее целое число x из области определения функции 
б) Докажите, что 
в) Решите неравенство 
г) Решите уравнение 
а) Область определения задается условием
поэтому самое маленькое целое число в области определения это −2.
б) Последовательно получим
в) Поскольку 
это неравенство равносильно
Первое неравенство мы уже решали, оно дает 
Второе дает
откуда x\leqslant -2 или x\geqslant 0. Совмещая эти условия, получаем ответ 
г) Решим уравнение 
Поскольку 
и 
входят в область определения функции, это действительно корни.
Ответ: а) −2; в) 
г) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
г) Задание парного варианта: 1903
1. Дана функция 
а) Вычислите 
б) Решите уравнение 
в) Решите неравенство 
г) Решите систему уравнений 
а) Подставим в выражение 
выражение 
б) Запишем уравнение в виде 
и преобразуем его:
Обозначим 
тогда
Вернёмся к исходной переменной. Получим, что 3x = 9, откуда x = 2.
в)Запишем неравенство в виде 
и преобразуем его:
Обозначим тогда 
Умножим на t > 0 обе части неравенства:
откуда 
тогда 
наконец, 
г) Запишем систему в виде:
Второе уравнение системы дает 
откуда x + y = 3, выразим y и получим y = 3 − x. Подставим это в первое уравнение
Обозначим тогда
Значит, 
Ответ: а) −54; б) 
в) 
г) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
в) г) Задание парного варианта: 1912
2. Дана функция 
а) Найдите область определения функции
б) Вычислите 
в) Решите уравнение 
г) Решите неравенство 
а) Область определения функции задается неравенством:
б) Найдем:
в) Необходимо решить уравнение 
Пусть 
тогда 
откуда
корень 
— не удовлетворяет условию 
Второй корень 
приводит к уравнению
г) Пусть тогда
Следовательно,
Ответ: а) 
б) -2, в) 
г) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) -2, в) г) Задание парного варианта: 1923
2. Дана функция 
а) Найдите область определения функции
б) Решите уравнение 
в) Решите неравенство 
г) Выясните, при каких значениях параметра a уравнение 
имеет решения.
а) Функция определена, если 
решая это неравенство, получим 
или 
б) Запишем уравнение в виде 
и преобразуем его:
откуда или 
(не входит в ОДЗ уравнения).
в) Запишем неравенство в виде 
и преобразуем его
Мы дополнительно записали, что выражение под логарифмом в левой части положительно. Выражение в правой тогда будет автоматически положительно для любого решения неравенства. Второе неравенство дает
откуда 
или 
Совмещая это с ОДЗ (то есть решением первого неравенства) получим 
г) Ясно, что если 
определено, то можно взять 
поэтому решения будут при всех a из ОДЗ функции.
Ответ: а) 
б) 
в) 
г) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) в) г) Задание парного варианта: 1933
Пройти тестирование по этим заданиям
Наверх