Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1923
i

2.  Дана функ­ция f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =\log _ дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 7x плюс 10 пра­вая круг­лая скоб­ка .

а)  Най­ди­те об­ласть опре­де­ле­ния функ­ции y=f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка .

б)  Вы­чис­ли­те f левая круг­лая скоб­ка 10 пра­вая круг­лая скоб­ка минус f левая круг­лая скоб­ка 7 пра­вая круг­лая скоб­ка .

в)  Ре­ши­те урав­не­ние 9 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1 плюс f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 8 умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1=0.

г)  Ре­ши­те не­ра­вен­ство 9 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1 плюс f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 8 умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Об­ласть опре­де­ле­ния за­да­ет­ся усло­ви­ем x в квад­ра­те минус 7x плюс 10 боль­ше 0, от­ку­да  левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 5 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0, т. е. x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; 2 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 5; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

б)  Най­дем:

f левая круг­лая скоб­ка 10 пра­вая круг­лая скоб­ка минус f левая круг­лая скоб­ка 7 пра­вая круг­лая скоб­ка = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 10 в квад­ра­те минус 7 умно­жить на 10 плюс 10 пра­вая круг­лая скоб­ка минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 7 в квад­ра­те минус 7 умно­жить на 7 плюс 10 пра­вая круг­лая скоб­ка =
= ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка 40 минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка 10= ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 40, зна­ме­на­тель: 10 конец дроби = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка 4= минус 2.

в)  Обо­зна­чим вре­мен­но t=3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка , тогда 9 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1 плюс f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка =9 умно­жить на 9 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка =9 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =9t в квад­ра­те и по­лу­ча­ем

9t в квад­ра­те плюс 8t минус 1=0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 9t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний t= минус 1,t= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти .

За­ме­тим, что пер­вый ко­рень не яв­ля­ет­ся дей­стви­тель­ным, т. к. t боль­ше 0, тогда 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби , где f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 2. Вер­нем­ся к ис­ход­но­му вы­ра­же­нию

 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 7x плюс 10 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 2 рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус 7x плюс 10=4 рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус 7x плюс 6=0 рав­но­силь­но  со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x=1,x=6. конец со­во­куп­но­сти .

г)  Сде­лав ту же за­ме­ну, что в пунк­те в), по­лу­чим 9t в квад­ра­те плюс 8t боль­ше или равно 1, от­ку­да  левая круг­лая скоб­ка t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 9t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0. Пер­вый мно­жи­тель по­ло­жи­те­лен, по­сколь­ку t боль­ше 0. По­лу­ча­ем 9t минус 1 боль­ше или равно 0, где t боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби , от­сю­да 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка , т. е. f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно минус 2. Тогда ис­ход­ное вы­ра­же­ние при­мет вид:

 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 7x плюс 10 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно минус 2 рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус 7x плюс 10 мень­ше или равно 4 рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус 7x плюс 6 мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 1; 6 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Учи­ты­вая ОДЗ функ­ции, по­лу­чим окон­ча­тель­но x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 1; 2 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 5; 6 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

 

Ответ: а)  левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; 2 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 5; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка ; б) −2; в)  левая фи­гур­ная скоб­ка 1; 6 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; г)  левая квад­рат­ная скоб­ка 1; 2 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 5; 6 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 1918

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, Санкт-Пе­тер­бург, 1996 год, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Вы­чис­ле­ния и пре­об­ра­зо­ва­ния (кроме три­го­но­мет­рии), Ис­сле­до­ва­ние функ­ций, Ло­га­риф­ми­че­ские не­ра­вен­ства, Ло­га­риф­ми­че­ские урав­не­ния и си­сте­мы, По­ка­за­тель­ные не­ра­вен­ства, По­ка­за­тель­ные урав­не­ния и их си­сте­мы, Урав­не­ния и не­ра­вен­ства сме­шан­но­го типа
?
Сложность: 5 из 10