Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1923

2. Дана функция f(x)=\log _\textstyle дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби (x в квадрате минус 7x плюс 10).

а) Найдите область определения функции y=f(x).

б) Вычислите f(10) минус f(7).

в) Решите уравнение 9 в степени (1 плюс f(x)) плюс 8 умножить на 3 в степени (f(x)) минус 1=0.

г) Решите неравенство 9 в степени (1 плюс f(x)) плюс 8 умножить на 3 в степени (f(x)) больше или равно 1.

Спрятать решение

Решение.

а) Область определения задается условием x в квадрате минус 7x плюс 10 больше 0, откуда (x минус 2)(x минус 5) больше 0, т. е. x принадлежит ( минус принадлежит fty ; 2)\cup (5; плюс принадлежит fty).

б) Найдем:

f(10) минус f(7)= логарифм по основанию (\textstyle дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ) (10 в квадрате минус 7 умножить на 10 плюс 10) минус логарифм по основанию (\textstyle дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ) (7 в квадрате минус 7 умножить на 7 плюс 10)= логарифм по основанию (\textstyle дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ) 40 минус логарифм по основанию (\textstyle дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ) 10= логарифм по основанию (\textstyle дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ) дробь: числитель: 40, знаменатель: 10 конец дроби = логарифм по основанию (\textstyle дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ) 4= минус 2.

в) Обозначим временно t=3 в степени (f(x)) , тогда 9 в степени (1 плюс f(x)) =9 умножить на 9 в степени (f(x)) =9 умножить на (3 в степени (f(x)) ) в квадрате =9t в квадрате и получаем

9t в квадрате плюс 8t минус 1=0 равносильно (t плюс 1)(9t минус 1)=0 равносильно совокупность выражений t= минус 1,t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби . конец совокупности .

Заметим, что первый корень не является действительным, т. к. t больше 0, тогда 3 в степени (f(x)) = дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби , где f(x)= минус 2. Вернемся к исходному выражению

 логарифм по основанию (\textstyle дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ) (x в квадрате минус 7x плюс 10)= минус 2 равносильно x в квадрате минус 7x плюс 10=4 равносильно x в квадрате минус 7x плюс 6=0 равносильно  совокупность выражений x=1,x=6. конец совокупности .

г) Сделав ту же замену, что в пункте в), получим 9t в квадрате плюс 8t больше или равно 1, откуда (t плюс 1)(9t минус 1) больше или равно 0. Первый множитель положителен, поскольку t больше 0. Получаем 9t минус 1 больше или равно 0, где t больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби , отсюда 3 в степени (f(x)) больше или равно 3 в степени ( минус 2) , т. е. f(x) больше или равно минус 2. Тогда исходное выражение примет вид:

 логарифм по основанию (\textstyle дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ) (x в квадрате минус 7x плюс 10) больше или равно минус 2 равносильно x в квадрате минус 7x плюс 10 меньше или равно 4 равносильно x в квадрате минус 7x плюс 6 меньше или равно 0 равносильно

 равносильно (x минус 1)(x минус 6) меньше или равно 0 равносильно x принадлежит [1; 6].

Учитывая ОДЗ функции, получим окончательно x принадлежит [1; 2)\cup (5; 6].

 

Ответ: а)  ( минус принадлежит fty ; 2)\cup (5; плюс принадлежит fty); б) −2; в) \1; 6\; г)  [1; 2)\cup (5; 6].

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 1918

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, Санкт-Петербург, 1996 год, вариант 2
? Классификатор: Вычисления и преобразования (кроме тригонометрии), Исследование функций, Логарифмические неравенства, Логарифмические уравнения и системы, Показательные неравенства, Показательные уравнения и их системы, Уравнения и неравенства смешанного типа
?
Сложность: 5 из 10