Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1898
i

2.  Дана функ­ция f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =\log _2 левая круг­лая скоб­ка x минус x в квад­ра­те плюс 12 пра­вая круг­лая скоб­ка .

а)  Най­ди­те наи­мень­шее целое число x из об­ла­сти опре­де­ле­ния функ­ции y=f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка .

б)  До­ка­жи­те, что f левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 2 плюс 2\log _27.

в)  Ре­ши­те не­ра­вен­ство  левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \log пра­вая круг­лая скоб­ка _2 левая круг­лая скоб­ка 3x плюс 12 пра­вая круг­лая скоб­ка .

г)  Ре­ши­те урав­не­ние f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =f левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Об­ласть опре­де­ле­ния за­да­ет­ся усло­ви­ем

x минус x в квад­ра­те плюс 12 боль­ше 0, x в квад­ра­те минус x минус 12 мень­ше 0, левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0, минус 3 мень­ше x мень­ше 4,

по­это­му самое ма­лень­кое целое число в об­ла­сти опре­де­ле­ния это −2.

б)  По­сле­до­ва­тель­но по­лу­чим

f левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 12 пра­вая круг­лая скоб­ка = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 целая часть: 12, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию целая часть: 2, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 49, зна­ме­на­тель: 4 =
= ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 49 минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 4= ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 7 в квад­ра­те минус 2=2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 7 минус 2.

в)  По­сколь­ку  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби мень­ше 1, это не­ра­вен­ство рав­но­силь­но

f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка 3x плюс 12 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка x минус x в квад­ра­те плюс 12 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка 3x плюс 12 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но 0 мень­ше x минус x в квад­ра­те плюс 12 мень­ше или равно 3x плюс 12.

Пер­вое не­ра­вен­ство мы уже ре­ша­ли, оно дает x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус 3;4 пра­вая круг­лая скоб­ка .Вто­рое дает

x в квад­ра­те плюс 2x боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но x левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0,

от­ку­да x\leqslant -2 или x\geqslant 0. Сов­ме­щая эти усло­вия, по­лу­ча­ем ответ x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус 3; минус 2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 0;4 пра­вая круг­лая скоб­ка .

г)  Решим урав­не­ние f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =f левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка :

 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка x минус x в квад­ра­те плюс 12 пра­вая круг­лая скоб­ка = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка x минус 2 минус левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 12 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но x минус x в квад­ра­те плюс 12=x минус 2 минус левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 12 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но x минус x в квад­ра­те плюс 12=x минус 2 минус x в квад­ра­те плюс 4x минус 4 плюс 12 рав­но­силь­но 4x=6 рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

По­сколь­ку  дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби и  дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 2 вхо­дят в об­ласть опре­де­ле­ния функ­ции, это дей­стви­тель­но корни.

 

Ответ: а) −2; в)  левая круг­лая скоб­ка минус 3; минус 2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 0;4 пра­вая круг­лая скоб­ка ; г)  левая фи­гур­ная скоб­ка 1;5 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 1903

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, Санкт-Пе­тер­бург, 1994 год, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Вы­чис­ле­ния и пре­об­ра­зо­ва­ния (кроме три­го­но­мет­рии), Ис­сле­до­ва­ние функ­ций, Ло­га­риф­ми­че­ские не­ра­вен­ства, Ло­га­риф­ми­че­ские урав­не­ния и си­сте­мы, По­ка­за­тель­ные не­ра­вен­ства, Урав­не­ния и не­ра­вен­ства сме­шан­но­го типа
?
Сложность: 5 из 10