Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1888
i

2.  Дана функ­ция f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка .

а)  Вы­чис­ли­те f левая круг­лая скоб­ка минус \log _23 пра­вая круг­лая скоб­ка .

б)  Ре­ши­те урав­не­ние f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 3.

в)  Най­ди­те об­ласть опре­де­ле­ния вы­ра­же­ния \log _5f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка .

г)  Ре­ши­те не­ра­вен­ство \log _5f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем функ­цию

f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни x минус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни x минус 4 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни x = левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 4 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни x .

а)  Решим ис­ход­ное вы­ра­же­ние

f левая круг­лая скоб­ка минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 3 пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 3 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 4 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 3 пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 3 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 4 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 3 пра­вая круг­лая скоб­ка =3 в квад­ра­те минус 4 умно­жить на 3= минус 3.

б)  Обо­зна­чим вре­мен­но  левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни x =t, тогда по­лу­ча­ем

t в квад­ра­те минус 4t= минус 3 рав­но­силь­но t в квад­ра­те минус 4t плюс 3=0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний t=1,t=3. конец со­во­куп­но­сти .

Тогда  левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни x =1 или  левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни x =3, от­сю­да x=0 или x= ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка 3= минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 3.

в)  Чтобы это вы­ра­же­ние было опре­де­ле­но, нужно чтобы вы­пол­ня­лось f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0:

 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни x боль­ше левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но  рав­но­силь­но минус 2x боль­ше 2 минус x рав­но­силь­но x мень­ше минус 2.

Это и есть ответ.

г)  Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство

 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 5 пра­вая круг­лая скоб­ка f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 1  рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 5 пра­вая круг­лая скоб­ка f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 5 пра­вая круг­лая скоб­ка 5 рав­но­силь­но f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 5  рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 4 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни x мень­ше или равно 5.

Обо­зна­чим вре­мен­но  левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни x =t, тогда не­ра­вен­ство при­мет вид

t в квад­ра­те минус 4t мень­ше или равно 5 рав­но­силь­но t в квад­ра­те минус 4t минус 5 мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка t минус 5 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но t при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус 1; 5 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

После об­рат­ной за­ме­ны по­лу­чим  левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус 1; 5 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка или про­сто 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 5, от­ку­да  минус x мень­ше или равно ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 5 или x боль­ше или равно минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 5. Учи­ты­вая ОДЗ не­ра­вен­ства (см пункт в), окон­ча­тель­но x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 5; минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ответ: а) −3; б)  левая фи­гур­ная скоб­ка 0; минус \log _23 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; в)  левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка ; г)  левая квад­рат­ная скоб­ка минус \log _25; минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 1893

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, Санкт-Пе­тер­бург, 1993 год, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Вы­чис­ле­ния и пре­об­ра­зо­ва­ния (кроме три­го­но­мет­рии), Ис­сле­до­ва­ние функ­ций, Ло­га­риф­ми­че­ские не­ра­вен­ства, По­ка­за­тель­ные урав­не­ния и их си­сте­мы
?
Сложность: 5 из 10