Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1907

1. Дана функция f левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус 2 умножить на 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка .

а) Вычислите f левая круглая скобка \log _256 плюс \log _0,57 правая круглая скобка .

б) Решите уравнение f левая круглая скобка x правая круглая скобка минус f левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка = минус 12.

в) Решите неравенство f левая круглая скобка x правая круглая скобка минус f левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка больше или равно минус 12.

г) Решите систему уравнений  система выражений f левая круглая скобка x правая круглая скобка минус f левая круглая скобка y правая круглая скобка = минус 12,f левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка = минус 54. конец системы .

Спрятать решение

Решение.

а) Подставим в выражение  минус 2 умножить на 3 в степени x выражение  логарифм по основанию 2 56 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка 7:

f левая круглая скобка логарифм по основанию 2 56 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка 7 правая круглая скобка =f левая круглая скобка логарифм по основанию 2 56 минус логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 7 правая круглая скобка =f левая круглая скобка логарифм по основанию целая часть: 2, дробная часть: числитель: 56, знаменатель: 7 правая круглая скобка =f левая круглая скобка логарифм по основанию 2 8 правая круглая скобка =f левая круглая скобка 3 правая круглая скобка = минус 2 умножить на 3 в кубе = минус 2 умножить на 27= минус 54.

б) Запишем уравнение в виде  минус 2 умножить на 3 в степени x минус левая круглая скобка минус 2 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка = минус 12 и преобразуем его:

 минус 2 умножить на 3 в степени x плюс 2 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка = минус 12 равносильно умножить на 3 в степени x минус 3 в степени левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка =6 равносильно умножить на 3 в степени x минус дробь: числитель: 3 в кубе , знаменатель: 3 в степени x конец дроби =6.

Обозначим 3 в степени x =t, тогда

 t минус дробь: числитель: 27, знаменатель: t конец дроби =6 равносильно  t в квадрате минус 27=6t равносильно t в квадрате минус 6t минус 27=0 равносильно левая круглая скобка t минус 9 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 3 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений t=9,t= минус 3 конец совокупности . \underset3 в степени x больше 0\mathop равносильно t=9.

Вернёмся к исходной переменной. Получим, что 3x = 9, откуда x = 2.

в)Запишем неравенство в виде  минус 2 умножить на 3 в степени x минус левая круглая скобка минус 2 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка больше или равно 12 и преобразуем его:

 минус 2 умножить на 3 в степени x плюс 2 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка больше или равно 12 равносильно умножить на 3 в степени x минус 3 в степени левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка меньше или равно минус 6 равносильно умножить на 3 в степени x минус дробь: числитель: 3 в кубе , знаменатель: 3 в степени x конец дроби меньше или равно минус 6.

Обозначим 3 в степени x =t, тогда t минус дробь: числитель: 27, знаменатель: t конец дроби меньше или равно минус 6. Умножим на t > 0 обе части неравенства:

t в квадрате минус 27 меньше или равно минус 6t равносильно t в квадрате плюс 6t минус 27 меньше или равно 0 равносильно левая круглая скобка t плюс 9 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка меньше или равно 0,

откуда  минус 9 меньше или равно t меньше или равно 3, тогда  минус 9 меньше или равно 3 в степени x меньше или равно 3, наконец, x меньше или равно 1.

г) Запишем систему в виде:

 левая фигурная скобка \beginaligned новая строка минус 2 умножить на 3 в степени x минус левая круглая скобка минус 2 умножить на 3 в степени y правая круглая скобка = минус 2, минус 2 умножить на 3 в степени левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка = минус 54. \endaligned.

Второе уравнение системы дает 3 в степени левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка =27, откуда x + y = 3, выразим y и получим y = 3 − x. Подставим это в первое уравнение

 минус 2 умножить на 3 в степени x минус левая круглая скобка минус 2 умножить на 3 в степени y правая круглая скобка = минус 2 равносильно минус 2 умножить на 3 в степени x плюс 2 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка = минус 2 равносильно 3 в степени x минус 3 в степени левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка =1 равносильно 3 в степени x минус дробь: числитель: 3 в кубе , знаменатель: 3 в степени x конец дроби =1.

Обозначим 3 в степени x =t, тогда

t минус дробь: числитель: 27, знаменатель: t конец дроби =1 равносильно  t в квадрате минус 27=t равносильно t в квадрате минус t минус 27=0 равносильно t= дробь: числитель: 1\pm корень из 1 плюс 27 умножить на 4, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 1\pm корень из 109, знаменатель: 2 конец дроби \undersett больше 0\mathop равносильно t= дробь: числитель: 1 плюс корень из 109, знаменатель: 2 конец дроби .

Значит, x= логарифм по основанию 3 дробь: числитель: 1 плюс корень из 109, знаменатель: 2 конец дроби , y=3 минус логарифм по основанию 3 дробь: числитель: 1 плюс корень из 109, знаменатель: 2 конец дроби .

 

Ответ: а) −54; б)  левая фигурная скобка 2 правая фигурная скобка ; в)  левая круглая скобка минус бесконечность ;2 правая квадратная скобка ; г)  левая фигурная скобка левая круглая скобка 2;1 правая круглая скобка правая фигурная скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 1912

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, Санкт-Петербург, 1995 год, вариант 1
? Классификатор: Вычисления и преобразования (кроме тригонометрии), Показательные неравенства, Показательные уравнения и их системы
?
Сложность: 5 из 10