Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1907
i

1.  Дана функ­ция f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 2 умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка .

а)  Вы­чис­ли­те f левая круг­лая скоб­ка \log _256 плюс \log _0,57 пра­вая круг­лая скоб­ка .

б)  Ре­ши­те урав­не­ние f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус f левая круг­лая скоб­ка 3 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 12.

в)  Ре­ши­те не­ра­вен­ство f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус f левая круг­лая скоб­ка 3 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно минус 12.

г)  Ре­ши­те си­сте­му урав­не­ний си­сте­ма вы­ра­же­ний f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус f левая круг­лая скоб­ка y пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 12,f левая круг­лая скоб­ка x плюс y пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 54. конец си­сте­мы .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Под­ста­вим в вы­ра­же­ние минус 2 умно­жить на 3 в сте­пе­ни x вы­ра­же­ние ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 56 плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 0,5 пра­вая круг­лая скоб­ка 7:

f левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 56 плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 0,5 пра­вая круг­лая скоб­ка 7 пра­вая круг­лая скоб­ка =f левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 56 минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка 7 пра­вая круг­лая скоб­ка =f левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию целая часть: 2, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 56, зна­ме­на­тель: 7 пра­вая круг­лая скоб­ка =
=f левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 8 пра­вая круг­лая скоб­ка =f левая круг­лая скоб­ка 3 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 2 умно­жить на 3 в кубе = минус 2 умно­жить на 27= минус 54.

б)  За­пи­шем урав­не­ние в виде минус 2 умно­жить на 3 в сте­пе­ни x минус левая круг­лая скоб­ка минус 2 умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 12 и пре­об­ра­зу­ем его:

минус 2 умно­жить на 3 в сте­пе­ни x плюс 2 умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 12 рав­но­силь­но умно­жить на 3 в сте­пе­ни x минус 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка =6 рав­но­силь­но умно­жить на 3 в сте­пе­ни x минус дробь: чис­ли­тель: 3 в кубе , зна­ме­на­тель: 3 в сте­пе­ни x конец дроби =6.

Обо­зна­чим 3 в сте­пе­ни x =t, тогда

t минус дробь: чис­ли­тель: 27, зна­ме­на­тель: t конец дроби =6 рав­но­силь­но t в квад­ра­те минус 27=6t рав­но­силь­но t в квад­ра­те минус 6t минус 27=0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка t минус 9 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка t плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний t=9,t= минус 3 конец со­во­куп­но­сти . \underset3 в сте­пе­ни x боль­ше 0\mathop рав­но­силь­но t=9.

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной. По­лу­чим, что 3x  =  9, от­ку­да x  =  2.

в)За­пи­шем не­ра­вен­ство в виде минус 2 умно­жить на 3 в сте­пе­ни x минус левая круг­лая скоб­ка минус 2 умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 12 и пре­об­ра­зу­ем его:

минус 2 умно­жить на 3 в сте­пе­ни x плюс 2 умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 12 рав­но­силь­но умно­жить на 3 в сте­пе­ни x минус 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно минус 6 рав­но­силь­но умно­жить на 3 в сте­пе­ни x минус дробь: чис­ли­тель: 3 в кубе , зна­ме­на­тель: 3 в сте­пе­ни x конец дроби мень­ше или равно минус 6.

Обо­зна­чим 3 в сте­пе­ни x =t, тогда t минус дробь: чис­ли­тель: 27, зна­ме­на­тель: t конец дроби мень­ше или равно минус 6. Умно­жим на t > 0 обе части не­ра­вен­ства:

t в квад­ра­те минус 27 мень­ше или равно минус 6t рав­но­силь­но t в квад­ра­те плюс 6t минус 27 мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка t плюс 9 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка t минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0,

от­ку­да минус 9 мень­ше или равно t мень­ше или равно 3, тогда минус 9 мень­ше или равно 3 в сте­пе­ни x мень­ше или равно 3, на­ко­нец, x мень­ше или равно 1.

г)  За­пи­шем си­сте­му в виде:

левая фи­гур­ная скоб­ка \beginaligned новая стро­ка минус 2 умно­жить на 3 в сте­пе­ни x минус левая круг­лая скоб­ка минус 2 умно­жить на 3 в сте­пе­ни y пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 2, минус 2 умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x плюс y пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 54. \endaligned.

Вто­рое урав­не­ние си­сте­мы дает 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x плюс y пра­вая круг­лая скоб­ка =27, от­ку­да x + y  =  3, вы­ра­зим y и по­лу­чим y  =  3 − x. Под­ста­вим это в пер­вое урав­не­ние

минус 2 умно­жить на 3 в сте­пе­ни x минус левая круг­лая скоб­ка минус 2 умно­жить на 3 в сте­пе­ни y пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 2 рав­но­силь­но минус 2 умно­жить на 3 в сте­пе­ни x плюс 2 умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 2 рав­но­силь­но 3 в сте­пе­ни x минус 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка =1 рав­но­силь­но 3 в сте­пе­ни x минус дробь: чис­ли­тель: 3 в кубе , зна­ме­на­тель: 3 в сте­пе­ни x конец дроби =1.

Обо­зна­чим 3 в сте­пе­ни x =t, тогда

t минус дробь: чис­ли­тель: 27, зна­ме­на­тель: t конец дроби =1 рав­но­силь­но t в квад­ра­те минус 27=t рав­но­силь­но t в квад­ра­те минус t минус 27=0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но t= дробь: чис­ли­тель: 1\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 плюс 27 умно­жить на 4 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 109 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \undersett боль­ше 0\mathop рав­но­силь­но t= дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 109 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Зна­чит, x= ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 109 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , y=3 минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 109 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

Ответ: а) −54; б) левая фи­гур­ная скоб­ка 2 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; в) левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ;2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка ; г) левая фи­гур­ная скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2;1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 1912

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, Санкт-Пе­тер­бург, 1995 год, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Вы­чис­ле­ния и пре­об­ра­зо­ва­ния (кроме три­го­но­мет­рии), По­ка­за­тель­ные не­ра­вен­ства, По­ка­за­тель­ные урав­не­ния и их си­сте­мы
?
Сложность: 5 из 10
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025