Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1918

2. Дана функция f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\log _3 левая круглая скобка x в квадрате минус 6x плюс 8 правая круглая скобка .

а) Найдите область определения функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка .

б) Вычислите f левая круглая скобка 1,5 правая круглая скобка минус f левая круглая скобка минус 0,5 правая круглая скобка .

в) Решите уравнение 2 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка f левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка плюс левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка f левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка =1.

г) Решите неравенство 2 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка f левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка плюс левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка f левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка минус 1 больше или равно 0.

Спрятать решение

Решение.

а) Область определения функции задается неравенством:

x в квадрате минус 6x плюс 8 больше 0 равносильно левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка больше 0 равносильно совокупность выражений x меньше 2,x больше 4. конец совокупности .

б) Найдем:

f левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус f левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = логарифм по основанию 3 левая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате минус 6 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка плюс 8 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 левая круглая скобка левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате минус 6 умножить на левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка плюс 8 правая круглая скобка =
= логарифм по основанию 3 левая круглая скобка дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби минус 9 плюс 8 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби плюс 3 плюс 8 правая круглая скобка = логарифм по основанию целая часть: 3, дробная часть: числитель: 5, знаменатель: 4 минус логарифм по основанию целая часть: 3, дробная часть: числитель: 45, знаменатель: 4 = логарифм по основанию целая часть: 3, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 9 = минус 2.

в) Необходимо решить уравнение 2 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x в квадрате минус 6x плюс 8 правая круглая скобка правая круглая скобка плюс левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x в квадрате минус 6x плюс 8 правая круглая скобка правая круглая скобка минус 1=0.

Пусть t= левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x в квадрате минус 6x плюс 8 правая круглая скобка правая круглая скобка , t больше 0, тогда 2t в квадрате плюс t минус 1=0, откуда

t_1,2= дробь: числитель: минус 1\pm корень из 1 минус 4\2 умножить на левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: минус 1\pm 3, знаменатель: 4 конец дроби ;

корень t= минус 1 — не удовлетворяет условию t больше 0. Второй корень t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби приводит к уравнению

 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x в квадрате минус 6x плюс 8 правая круглая скобка правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x в квадрате минус 6x плюс 8 правая круглая скобка =1 равносильно

 равносильно x в квадрате минус 6x плюс 8=3 равносильно x в квадрате минус 6x плюс 5=0 равносильно совокупность выражений x=1,x=5. конец совокупности .

г) Пусть t= левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x в квадрате минус 6x плюс 8 правая круглая скобка правая круглая скобка , t больше 0, тогда

2t в квадрате плюс t минус 1\geqslant0 равносильно 2 левая круглая скобка t минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка \geqslant0 равносильно t больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .

Следовательно,

 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x в квадрате минус 6x плюс 8 правая круглая скобка правая круглая скобка больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x в квадрате минус 6x плюс 8 правая круглая скобка \leqslant1 равносильно

 равносильно система выражений x в квадрате минус 6x плюс 5\leqslant0 ,x в квадрате минус 6x плюс 8 больше 0 конец системы . равносильно совокупность выражений 1 меньше или равно x меньше 2,4 меньше x меньше или равно 5. конец совокупности .

 

Ответ: а)  левая круглая скобка минус бесконечность ; 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 4; плюс бесконечность правая круглая скобка , б) -2, в)  левая фигурная скобка 1; 5 правая фигурная скобка , г)  левая квадратная скобка 1; 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 4; 5 правая квадратная скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 1923

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, Санкт-Петербург, 1996 год, вариант 1
? Классификатор: Вычисления и преобразования (кроме тригонометрии), Исследование функций, Логарифмические неравенства, Логарифмические уравнения и системы, Показательные неравенства, Показательные уравнения и их системы, Уравнения и неравенства смешанного типа
?
Сложность: 5 из 10