Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1893
i

2.  Дана функ­ция f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =9 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

а)  Вы­чис­ли­те f левая круг­лая скоб­ка \log _32 пра­вая круг­лая скоб­ка .

б)  Ре­ши­те урав­не­ние f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 2.

в)  Най­ди­те об­ласть опре­де­ле­ния вы­ра­же­ния \log _ дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка .

г)  Ре­ши­те не­ра­вен­ство \log _ дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно минус 2.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Решим ис­ход­ное вы­ра­же­ние:

f левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 2 пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 2 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 3 умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =2 в квад­ра­те минус 3 умно­жить на 2= минус 2.

б)  Обо­зна­чим вре­мен­но 3 в сте­пе­ни x =t, тогда по­лу­ча­ем

t в квад­ра­те минус 3t= минус 2 рав­но­силь­но t в квад­ра­те минус 3t плюс 2=0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний t=1,t=2. конец со­во­куп­но­сти .

Тогда пе­ре­мен­ная равна 3 в сте­пе­ни x =1 или 3 в сте­пе­ни x =2, x=0 или x= ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 2.

в)  Для того чтобы вы­ра­же­ние было опре­де­ле­но, нужно чтобы вы­пол­ня­лось f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0, то есть

9 в сте­пе­ни x боль­ше 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но 2x боль­ше x плюс 1 рав­но­силь­но боль­ше x боль­ше 1.

Это и есть ответ.

г)  Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство

 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно минус 2 рав­но­силь­но  ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка 4 рав­но­силь­но f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 4,

от­сю­да  левая круг­лая скоб­ка 3 в сте­пе­ни x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 3 умно­жить на 3 в сте­пе­ни x мень­ше или равно 4. Обо­зна­чим вре­мен­но 3 в сте­пе­ни x =t, тогда не­ра­вен­ство при­мет вид

t в квад­ра­те минус 3t мень­ше или равно 4 рав­но­силь­но t в квад­ра­те минус 3t минус 4 мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка t минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но t при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус 1; 4 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

После об­рат­ной за­ме­ны по­лу­чим 3 в сте­пе­ни x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус 1; 4 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка или про­сто 3 в сте­пе­ни x мень­ше или равно 4, от­ку­да x мень­ше или равно ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 4. Учи­ты­вая ОДЗ не­ра­вен­ства (см пункт в), окон­ча­тель­но x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 1; ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 4 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

 

Ответ: а) −2; б)  левая фи­гур­ная скоб­ка 0; \log _32 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; в)  левая круг­лая скоб­ка 1; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка ; г)  левая круг­лая скоб­ка 1; \log _34 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 1888

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, Санкт-Пе­тер­бург, 1993 год, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Вы­чис­ле­ния и пре­об­ра­зо­ва­ния (кроме три­го­но­мет­рии), Ис­сле­до­ва­ние функ­ций, Ло­га­риф­ми­че­ские не­ра­вен­ства, По­ка­за­тель­ные не­ра­вен­ства, По­ка­за­тель­ные урав­не­ния и их си­сте­мы, Урав­не­ния и не­ра­вен­ства сме­шан­но­го типа
?
Сложность: 5 из 10