Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1928
i

2.  Дана функ­ция f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =\log _0,5 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 4x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка .

а)  Най­ди­те об­ласть опре­де­ле­ния функ­ции y=f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка .

б)  Ре­ши­те урав­не­ние f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =\log _2 дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 минус 2x конец дроби .

в)  Ре­ши­те не­ра­вен­ство f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше f левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1.

г)  Вы­яс­ни­те, при каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра a урав­не­ние f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =f левая круг­лая скоб­ка a пра­вая круг­лая скоб­ка имеет ре­ше­ния.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Функ­ция опре­де­ле­на, если x в квад­ра­те минус 4x плюс 3 боль­ше 0, решая это не­ра­вен­ство, по­лу­чим x мень­ше 1 или x боль­ше 3.

б)  За­пи­шем урав­не­ние в виде  ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 0,5 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 4x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 минус 2x конец дроби и пре­об­ра­зу­ем его:

 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 4x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка 3 минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 4x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка 3 минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 4x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка 3 минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус 4x плюс 3=3 минус 2x рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус 2x=0 рав­но­силь­но x левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =0,

от­ку­да x=0 или x=2 (не вхо­дит в ОДЗ урав­не­ния).

в)  За­пи­шем не­ра­вен­ство в виде  ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 0,5 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 4x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 0,5 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 4 левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 и пре­об­ра­зу­ем его

 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 0,5 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 4x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 0,5 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 4x плюс 4 минус 4x минус 8 плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 0,5 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 4x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 0,5 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 0,5 пра­вая круг­лая скоб­ка 2 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 0,5 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 4x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 0,5 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка \underset0,5 мень­ше 1\mathop рав­но­силь­но 0 мень­ше x в квад­ра­те минус 4x плюс 3 мень­ше 2 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Мы до­пол­ни­тель­но за­пи­са­ли, что вы­ра­же­ние под ло­га­риф­мом в левой части по­ло­жи­тель­но. Вы­ра­же­ние в пра­вой тогда будет ав­то­ма­ти­че­ски по­ло­жи­тель­но для лю­бо­го ре­ше­ния не­ра­вен­ства. Вто­рое не­ра­вен­ство дает

x в квад­ра­те минус 4x плюс 3 мень­ше 2x в квад­ра­те минус 2 рав­но­силь­но x в квад­ра­те плюс 4x минус 5 боль­ше 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0,

от­ку­да x мень­ше минус 5 или x боль­ше 1. Сов­ме­щая это с ОДЗ (то есть ре­ше­ни­ем пер­во­го не­ра­вен­ства) по­лу­чим x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 5 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 3; бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

г)  Ясно, что если f левая круг­лая скоб­ка a пра­вая круг­лая скоб­ка опре­де­ле­но, то можно взять x=a, по­это­му ре­ше­ния будут при всех a из ОДЗ функ­ции.

 

 

 

Ответ: а)  левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ;1 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 3; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка ; б)  левая фи­гур­ная скоб­ка 0 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; в)  левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 5 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 3; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка ; г) a боль­ше 0.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 1933

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, Санкт-Пе­тер­бург, 1997 год, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ло­га­риф­ми­че­ские не­ра­вен­ства, Ло­га­риф­ми­че­ские урав­не­ния и си­сте­мы, Об­ласть опре­де­ле­ния функ­ции
?
Сложность: 5 из 10