Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1912
i

1.  Дана функ­ция f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =3 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка .

а)  Вы­чис­ли­те f левая круг­лая скоб­ка \log _3 дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 54 конец дроби плюс \log _32 пра­вая круг­лая скоб­ка .

б)  Ре­ши­те урав­не­ние f левая круг­лая скоб­ка минус 3 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка минус f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 6.

в)  Ре­ши­те не­ра­вен­ство f левая круг­лая скоб­ка минус 3 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка минус f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно минус 6.

г)  Ре­ши­те си­сте­му урав­не­ний  си­сте­ма вы­ра­же­ний f левая круг­лая скоб­ка y пра­вая круг­лая скоб­ка минус f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 6, f левая круг­лая скоб­ка x плюс y пра­вая круг­лая скоб­ка =24. конец си­сте­мы .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  По­сле­до­ва­тель­но по­лу­чим:

f левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию целая часть: 3, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 54 плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =f левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию целая часть: 3, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 54 пра­вая круг­лая скоб­ка =f левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию целая часть: 3, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 27 пра­вая круг­лая скоб­ка =f левая круг­лая скоб­ка минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка =3 умно­жить на 2 в кубе =3 умно­жить на 8=24.

б)  За­пи­шем урав­не­ние в виде 3 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка минус 3 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка минус 3 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус x пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 6 и пре­об­ра­зу­ем его:

3 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3 плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 3 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус x пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 6 рав­но­силь­но 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3 плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус x пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 2 рав­но­силь­но 2 в кубе умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни x конец дроби = минус 2 рав­но­силь­но  8 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни x конец дроби = минус 2.

Обо­зна­чим 2 в сте­пе­ни x =t, тогда

8t минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: t конец дроби = минус 2 рав­но­силь­но  8t в квад­ра­те минус 1= минус 2t рав­но­силь­но 8t в квад­ра­те плюс 2t минус 1=0 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка 4t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний t= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,t= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . \undersett боль­ше 0\mathop рав­но­силь­но t=frac14.

Тогда 2 в сте­пе­ни x = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби рав­но­силь­но x= минус 2.

в)  За­пи­шем не­ра­вен­ство в виде 3 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка минус 3 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка минус 3 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно минус 6 и пре­об­ра­зу­ем его:

3 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3 плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 3 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус x пра­вая круг­лая скоб­ка \geqslant минус 6 рав­но­силь­но 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3 плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно минус 2 рав­но­силь­но 2 в кубе умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни x конец дроби = боль­ше или равно минус 2 рав­но­силь­но  8 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни x конец дроби боль­ше или равно минус 2.

Обо­зна­чим 2 в сте­пе­ни x =t, t боль­ше 0 тогда

8t минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: t конец дроби боль­ше или равно минус 2 8t в квад­ра­те минус 1 боль­ше или равно минус 2t 8t в квад­ра­те плюс 2t минус 1 боль­ше или равно 0 левая круг­лая скоб­ка 4t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0 со­во­куп­ность вы­ра­же­ний t боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,t мень­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . \undersett боль­ше 0\mathop рав­но­силь­но t боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Тогда 2 в сте­пе­ни x боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби рав­но­силь­но x боль­ше или равно минус 2.

г)  За­пи­шем си­сте­му в виде

 левая фи­гур­ная скоб­ка \beginaligned новая стро­ка 3 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус y пра­вая круг­лая скоб­ка минус 3 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус x пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 6, новая стро­ка 3 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка x плюс y пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка =24. \endaligned.

Вто­рое урав­не­ние си­сте­мы дает

2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка x плюс y пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка =8 рав­но­силь­но минус левая круг­лая скоб­ка x плюс y пра­вая круг­лая скоб­ка =3 рав­но­силь­но x плюс y= минус 3 рав­но­силь­но y= минус 3 минус x.

Под­ста­вим это в пер­вое урав­не­ние 3 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 3 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус x пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 6. Это урав­не­ние мы уже ре­ша­ли в пунк­те б, по­это­му x= минус 2, тогда y= минус 3 минус x= минус 3 плюс 2= минус 1.

 

Ответ: а) 24; б)  левая фи­гур­ная скоб­ка минус 2 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; в)  левая квад­рат­ная скоб­ка минус 2; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка ; г)  левая фи­гур­ная скоб­ка левая круг­лая скоб­ка минус 2; минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 1907

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, Санкт-Пе­тер­бург, 1995 год, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Вы­чис­ле­ния и пре­об­ра­зо­ва­ния (кроме три­го­но­мет­рии), По­ка­за­тель­ные не­ра­вен­ства, По­ка­за­тель­ные урав­не­ния и их си­сте­мы
?
Сложность: 5 из 10