Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1912

1. Дана функция f(x)=3 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени (x) .

а) Вычислите f левая круглая скобка \log _3 дробь: числитель: 1, знаменатель: 54 конец дроби плюс \log _32 правая круглая скобка .

б) Решите уравнение f( минус 3 минус x) минус f(x)= минус 6.

в) Решите неравенство f( минус 3 минус x) минус f(x) больше или равно минус 6.

г) Решите систему уравнений  система выражений f(y) минус f(x)= минус 6, f(x плюс y)=24. конец системы .

Спрятать решение

Решение.

а) Последовательно получим:

f( логарифм по основанию целая часть: 3, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 54 плюс логарифм по основанию 3 2)=f( логарифм по основанию целая часть: 3, дробная часть: числитель: 2, знаменатель: 54 )=f( логарифм по основанию целая часть: 3, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 27 )=f( минус 3)=3 умножить на 2 в кубе =3 умножить на 8=24.

б) Запишем уравнение в виде 3 умножить на 2 в степени ( минус ( минус 3 минус x)) минус 3 умножить на 2 в степени ( минус x) = минус 6 и преобразуем его:

3 умножить на 2 в степени (3 плюс x) минус 3 умножить на 2 в степени ( минус x) = минус 6 равносильно 2 в степени (3 плюс x) минус 2 в степени ( минус x) = минус 2 равносильно 2 в кубе умножить на 2 в степени (x) минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 в степени x конец дроби = минус 2 равносильно  8 умножить на 2 в степени (x) минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 в степени x конец дроби = минус 2.

Обозначим 2 в степени x =t, тогда

8t минус дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби = минус 2 равносильно  8t в квадрате минус 1= минус 2t равносильно 8t в квадрате плюс 2t минус 1=0 равносильно (4t минус 1)(2t плюс 1)=0 равносильно совокупность выражений t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ,t= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . \undersett больше 0\mathop равносильно t=frac14.

Тогда 2 в степени x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби равносильно x= минус 2.

в) Запишем неравенство в виде 3 умножить на 2 в степени ( минус ( минус 3 минус x)) минус 3 умножить на 2 в степени ( минус x) больше или равно минус 6 и преобразуем его:

3 умножить на 2 в степени (3 плюс x) минус 3 умножить на 2 в степени ( минус x) \geqslant минус 6 равносильно 2 в степени (3 плюс x) минус 2 в степени ( минус x) больше или равно минус 2 равносильно 2 в кубе умножить на 2 в степени (x) минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 в степени x конец дроби = больше или равно минус 2 равносильно  8 умножить на 2 в степени (x) минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 в степени x конец дроби больше или равно минус 2.

Обозначим 2 в степени x =t, t больше 0 тогда

8t минус дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби больше или равно минус 2 8t в квадрате минус 1 больше или равно минус 2t 8t в квадрате плюс 2t минус 1 больше или равно 0 (4t минус 1)(2t плюс 1) больше или равно 0 совокупность выражений t больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ,t меньше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . \undersett больше 0\mathop равносильно t больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .

Тогда 2 в степени x больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби равносильно x больше или равно минус 2.

г) Запишем систему в виде

\left\\begin{aligned новая строка 3 умножить на 2 в степени ( минус y) минус 3 умножить на 2 в степени ( минус x) = минус 6, новая строка 3 умножить на 2 в степени ( минус (x плюс y)) =24. \endaligned.

Второе уравнение системы дает

2 в степени ( минус (x плюс y)) =8 равносильно минус (x плюс y)=3 равносильно x плюс y= минус 3 равносильно y= минус 3 минус x.

Подставим это в первое уравнение 3 умножить на 2 в степени (x плюс 3) минус 3 умножить на 2 в степени ( минус x) = минус 6. Это уравнение мы уже решали в пункте б, поэтому x= минус 2, тогда y= минус 3 минус x= минус 3 плюс 2= минус 1.

 

Ответ: а) 24; б) \ минус 2\; в) [ минус 2; плюс принадлежит fty ); г) \( минус 2; минус 1)\.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 1907

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, Санкт-Петербург, 1995 год, вариант 2
? Классификатор: Вычисления и преобразования (кроме тригонометрии), Показательные неравенства, Показательные уравнения и их системы
?
Сложность: 5 из 10