PDF-версии: 
2. Дана функция 
а) Выразите y как функцию от 
б) Решите уравнение 
в) Найдите область значений функции y.
г) Сколько корней в зависимости от a имеет уравнение 
на отрезке 
Решение. а) Выразим y как функцию от 
Считая косинус двойного угла аргументом, получаем: 
б) Решим уравнение 
то есть 
получим 
откуда 
или 
Возвращаясь к исходной переменной, получаем:
в) Функция 
принимает все значения из 
на 
совпадает со множеством значений квадратичной функции
убывает при 
и возрастает при 
поэтому ее наименьшее значение достигается при 
оно 
а 
то наибольшее значение равно 5. Тем самым,
г) Используя построенный выше график квадратного трехчлена, заключаем, что уравнение 
относительно t:
— при 
или при 
не имеет решений;
— при 
имеет единственное решение, лежащее в промежутке 
— при 
имеет два решения, лежащих в промежутке 
— при 
имеет единственное решение 
Каждое из этих решений приводит к уравнению 
относительно х. Функция на отрезке 
убывает (см. рис.), принимая все значения из отрезка 
по одному разу. Следовательно, уравнение 
относительно х:
— при 
или при не имеет решений;
— при имеет единственное решение, лежащее в промежутке 
— при имеет два решения, лежащих в промежутке 
— при имеет единственное решение 
Ответ: 
один корень при 
при прочих a нет корней.
один корень при при прочих a нет корней. один корень при при прочих a нет корней.
—
Найдите наименьшее значение функции g на множестве вещественных чисел.
Очевидно, 
не является корнем 
является его корнем.
и обозначим 
Тогда 
и нам нужно найти множество значений функции 
на этом промежутке. Очевидно наименьшее значение этот квадратный трехчлен принимает при 
получим 
При 
получим 
При 
получим
то есть 
при 
эта функция не принимает положительных значений. В самом деле, 
и 
поэтому 
имеем 
Наконец, 
и 
поэтому 
и 
и 
— точки пересечения прямой 
с графиками функций f и g. При каких m длина отрезка с концами в этих точках равна единице?
получим 
поэтому 
то есть график 
проходит выше графика 
Значит,
получим 
поэтому уравнение 
решений не имеет. Все остальные корни лежат на отрезке [−1; 1] и дают корни 
т. е. 
где 
т. е. 
и 
где 
т. е. 
и 
где 
и 
(концы отрезка симметричны относительно его середины). Тогда получим систему двух уравнений с двумя неизвестными
или 
поскольку 
и 
В принципе, можно было попробовать угадать этот ответ. Но в последнем пункте нам понадобятся идеи, придуманные в этом.
является серединой отрезка 
и 
Составим систему уравнений:
Если у этого уравнения есть решение, то подставляя его в первое уравнение системы мы определим y и построим таким образом интересующий нас отрезок.
решения есть только при 
при прочих a получаем 
поэтому для разрешимости уравнения необходимо и достаточно, 
В эту формулу в том числе подходят и ситуации с 
Таким образом, нужно построить графики 
и взять все точки, лежащие между ними (cм. рис.).
и поверхностью, получаемой при вращении графика функции f вокруг прямой 
(лежащей в плоскости Oxy). При каком m объем этого тела будет наименьшим?
тогда 
Получаем
или 
Первое невозможно, поскольку 
Второе же дает 
где 
Ясно что 
поэтому 
Отсюда следует, что подходит только 
Функция 
непрерывна. Найдем ее корни, тогда на промежутках между ними она знакопостоянна. Тогда 
и 
При этом на соседних промежутках знаки различны: 
получаем 
и 
поэтому 
Осталось выбрать из этих промежутков самый длинный. Очевидно это первый, его длина составляет 
возрастает на 
и 
и 
и 
Таким образом, мы знаем наименьшее и наибольшее значение на каждом промежутке монотонности и, значит, знаем и все принимаемые значения.
— ни одного решения. При 
— одно решение. При 
— три решения. При 
— четыре решения. При 
— два решения. При 
— ни одного решения.
поэтому сечением тела будет круг радиуса 
и площади 
и объем тела будет равен
Поэтому ответ равен 
при всех 
и преобразуем его:
(поскольку с периодичностью 
повторяются корни всех трех уравнений), чтобы потом не выписать один и тот же корень дважды. Получим 0; 
0; 
После удаления повторов получим 
и 
где 
тогда
Тогда
т. е. 
Обозначим 
тогда
Поскольку 
то вместе с каждым подходящим a подходит и 
поэтому можно исследовать только 
Кроме того, при 
получим 
поэтому 
получим 
и 
при всех 
Поэтому неравенство выполнено.
получим 
поэтому точка 
в которой нарушается неравенство, тоже попадет среди чисел вида ax при 
Такие a не подходят.
длина промежутка 
составит 
или 
Поэтому все точки большего по длине промежутка не могут подходить в неравенство.
график — горизонтальная прямая. Она имеет центр симметрии. В остальных случаях снова сделаем замену
представляющее собой квадратный трехчлен. Поэтому множество его значений при 
устроено так — наибольшее значение он имеет при 
и оно равно 
поэтому наименьшее значение это −2.
сжатием вдоль оси абсцисс в a раз. Это сжатие не влияет на наличие или отсутствие центра симметрии. Поэтому либо при всех 
есть центр симметрии, либо его нет. Будем теперь считать, что 
В них обеих функция принимает наибольшее значение, а расстояние между ними составляет 
После центральной симметрии они должны превратиться в две точки, где функция принимает наименьшее значение, отстоящие друг от друга на такое же расстояние. Но точки, 
Противоречие.
где 
достаточно для выполнения неравенства 
Домножим на знаменатель:
при 
откуда 
либо 
и 
поэтому все они — корни исходного уравнения.
поэтому достаточно решить неравенство при 
и затем повторять ответ с периодом 
и равен нулю в концах этого промежутка. Поэтому ответом на этом промежутке будет 
поэтому ее производная равна
Знаменатель положителен всегда, значит, числитель должен быть отрицателен. Разберем случаи.
то при 
получим 
и 
числитель окажется положительным.
то функция 
убывает на всем указанном промежутке (потому что на нем убывают и 
и 
), поэтому необходимо и достаточно, чтобы неравенство выполнялось при 
или, что то же самое, чтобы выполнялось нестрогое неравенство при 
Получаем:
Сразу заметим, что если 
или 
то такие x не будут решениями этого уравнения, поэтому от такого домножения число решений не изменится. В частности, 
тоже не является корнем.
тоже касается горизонтальной оси. То есть найдется точка, в которой и сама функция и ее производная обращаются в ноль. Возьмем производную и составим систему
и 
и сложим уравнения. Получим 
сократим на него 
получим 
Аналогично можно получить, что 
Тогда 
выполнено. Выберем тогда такое x, чтобы 
удовлетворяет условиям 
поэтому уравнение имеет корень на отрезке 
причем это другой корень, нежели тот специфический кратный. Дело в том, что если бы график функции для этого корня пересек бы ось, то корень был бы «кратности» не 2, а как минимум 3, то есть вторая производная тоже обнулялась бы. Но 
поэтому 
равнялась бы нулю, что невозможно по самому первому замечанию.
При 
t примет все значения, кроме нуля, ровно по одному разу. Получим уравнение
для которых 
имеет ровно два решения на отрезке 
при всех 
поэтому неравенство сводится к 
Поскольку 
, 
и 
при 
получаем ответ 
и преобразуем его. Пусть 
и
тогда 
Обозначая 
получим 
отсюда 
возможен только вариант 
это число меньше 1, как и корень из него, поэтому уравнение 
имеет решения, а именно 
при 
получим 
При этом на каждом из промежутков 
и 
функция 
принимает все свои значения по одному разу (значение 
она принимает на них в сумме один раз). Поэтому она не должна принимать значение 
на промежутках 
и 
На этих промежутках она принимает все свои неотрицательные значения, кроме значения 1. Поэтому остаются варианты 
Уравнение сводится к 
т. е. 
где 
Окончательно 
или 
В левой части получим 0, поскольку 
В правой части получим 
и 
при 
Найдите корни функции f.
Получим:
В первом случае получаем:
получим выражение 
Заметим, что при 
получим 
равносильны. Но квадратный трехчлен монотонен на промежутке в тех и только тех случаях, когда промежуток не содержит внутри себя его точку экстремума (она же — абсцисса вершины соответствующей ему параболы). Итак, 
Проще всего для этого воспользоваться геометрическим представлением — точки, соответствующие углам 
образуют вершины правильного n — угольника. Сумма косинусов таких углов, следовательно, равна сумме проекций векторов, идущих из центра многоугольника в его вершины, на ось абсцисс. Вместо суммы проекций можно взять проекцию суммы. Но сумма таких векторов равна нулю, поскольку переходит в себя при повороте на угол 
что возможно лишь для нулевого вектора. Ну а проекция нулевого вектора — нулевая. Есть и другие доказательства. Например, сумму косинусов от арифметической прогрессии углов можно вычислить явно. Аналогично 
Поэтому 
поэтому и ее предел равен 
б) 
в) 
г) 
Решите уравнение 
корень уравнения 
Найдите наименьшее значение 
при всех 
и преобразуем его:
либо 
При этом, однако, 
не должно обнуляться. Для чисел из первого набора это получится само. А вот для второго набора нужно разобраться подробнее. Если k нечетно, то 
Если k четно, но не кратно 4, то 
Но все эти ответы и так есть в первом наборе.
При всех прочих a можно вычислить этот интеграл по общей формуле:
получаем 
поэтому 
и 
неравенство выполнено. При 
второй множитель положителен и получаем неравенство 
откуда 
и он смыкается с уже полученными ответами 
и 
Заметим, что при 
это уравнение выполняться не может, поэтому можно переписать уравнение в виде 
или 
Поскольку 
то и 
Ближайшая к 
точка с таким свойством это 
или 
(расстояние от них до 
Осталось выбрать подходящее a. Например при 
число 
будет корнем уравнения 
равно 
то 
причем 
то есть можно выбрать такое x при котором 
и 
Значит, 
получим 
поэтому функции 
и 
получим
или 
Ясно, что 
б) 
или 
в) 
г) 
являются корнями функции f.
Решите неравенство 
Решите уравнение 
при которых период функции f равен 
и
При 
получаем 
и
Совмещая эти условия, получим: 
тогда 
т. е.
получим 
при 
тогда второй множитель всегда положителен и не влияет на знак. Сократим его и получим неравенство 
при 
попадают на такие отрезки при четных k и не попадают при нечетных, поэтому придется добавить в ответ только соответствующие точки с нечетными k, 
получим уравнение 
при 
(а при 
уравнение 
не имеет корней). Первое уравнение дает 
(что сразу запрещает 
) и 
(поэтому при 
решений тоже нет). При 
получаем что 
такой случай мы уже разбирали. Если же 
то 
и уравнение дает
и 
Поэтому: 
и 
или 
и 
Сложив эти уравнения, получим 
откуда 
Тогда первое уравнение дает 
или 
отсюда 
выполнено и для всех остальных x. Для этого преобразуем функцию
в) 
при любом b; 
при 
таких что данная система имеет решение.
и 
Возводя уравнения в квадрат и складывая их, получим 
что невозможно.
Возводя их в квадрат и складывая, получим:
(поскольку 
):
откуда 
находим 
при 
Либо можно сократить уравнение на 
получим
и 
где 
и 
и 
где 
Если про угол известны и синус и косинус, то угол определяется однозначно с точностью до прибавления кратного 
был бы положительный синус, что нас не устраивает.
и 
или 
и 
откуда 
Ясно, что любое такое x подходит — оба треугольника ABC и ADC удается построить и склеить по стороне AC. Применим тогда к каждому из них формулу Герона, решим:
и рассмотрим функцию 
На самом деле четырехугольник наибольшей площади с данными сторонами — вписанный. В нашем случае на его, роль, очевидно, подойдет равнобедренная трапеция.
и 
возведем в квадрат и сложим. Получим уравнение 
причем если это уравнение имеет решение, то соответствующее y можно будет подобрать, поскольку выражения 
и 
будут не больше 1 по модулю, а сумма их квадратов будет равна единице. Раскрывая скобки, получим:
тогда 
решений нет (это, кстати, пункт а). Выберем 
так, чтобы 
и 
(это возможно, поскольку 
), тогда
Поскольку 
данное выражение положительно всегда
(кольцо).
ограниченной осью абсцисс и дугой графика y = f(x), 
Найдите вероятность того, что случайно выбранная в 
точка является серединой хорды, концы которой лежат на рассматриваемой дуге графика данной функции.
уравнения 
отброшены те, которые не удовлетворяют неравенству 
верно равенство 
т. е.
что имеет место при 
С другой стороны, подставив 
получаем равенство
не имеет места.
не пуста только 
состоящего из середин хорд данной дуги графика, к площади множества 
Из дальнейших вычислений будет следовать, что множество 
ограничено данной дугой и двумя гомотетичными ей с коэффициентом 
дугами 
(см. рис., на котором заштриховано множество 
Из соображений симметрии мы вправе считать, что 
Имеем: 
где 
Воспользовавшись неравенствами
то тем самым
То, что указанные границы достигаются, очевидно из геометрических соображений.
последовательно соединяются отрезками. Укажите наименьшую и наибольшую из длин полученных отрезков.
Найдите 
было отрицательно на всем промежутке. Если 
то 
и 
откуда 
Ясно что при 
имеем 
т. е. 
выполнено неравенство 
и такие x действительно существуют. Значит, 
и повторяются в обе стороны периодически с периодом 
аналогично расстояние между четвертой и пятой равно 
Докажем, что 
поэтому 
Докажем теперь второе. Поскольку 
поэтому 
и 
Возведем в квадрат:
Итак, наименьшее значение расстояния равно 
то
— наименьшая;