2. Тригонометрия
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1. Дана функция 
а) Докажите, что 
б) Решите уравнение 
в) Упростите выражение 
и вычислите его значение при 
г) Решите неравенство 
на отрезке 
а) Преобразуем исходной выражение:
б) Если 
то либо 
либо 
Второй случай дает 
т. е. 
Первый случай дает 
Но все такие ответы уже включены в первый набор, писать их еще раз не нужно.
в) Упростим исходное выражение:
При 
получим 
г) Выражение 
при всех x кроме 
(см. пункт а). Решая неравенство 
получим 
С учетом условия о запрете некоторых значений x окончательный ответ
Ответ: 
г)
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
г)Задание парного варианта: 1892
1. Дана функция 
а) Вычислите 
б) Упростите выражение 
в) Решите уравнение 
г) Решите неравенство 
на отрезке 
а) Последовательно получим
б) Применим формулу произведения синуса на косинус:
в) Запишем уравнение в виде 
разложим на множители 
Значит, либо 
либо
г) Заметим, что на отрезке 
есть только одна точка вида 
— это 
Она точно не попадет в ответ (знаменатель равен нулю), а при всех прочих x можно сократить 
Получим неравенство 
При 
получаем 
на всем этом промежутке 
— возрастающая функция. При этом 
и 
поэтому нам подходят те x, для которых 
то есть 
Это и есть ответ.
Ответ: а) 
б) 1; в) 
г) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) 1; в) г) Задание парного варианта: 1902
2. Дана функция 
а) Вычислите 
если известно, что 
б) Решите уравнение 
в) Докажите, что 
г) Решите неравенство 
на отрезке 
а) Последовательно получим
б) Применим формулу косинуса двойного аргумента
Обозначим 
тогда
Либо 
тогда 
откуда 
или же 
Либо 2t^2-1=0, тогда 
откуда 
или же 
в) Последовательно получим
г) Подставив, получим:
при условии, что 
то есть 
На отрезке 
из точек этого набора лежат только 
и 
их надо будет в любом случае не включить в ответ.
Теперь решим неравенство 
то есть 
Поскольку на отрезке функция 
убывает и 
а 
то в это неравенство подходят 
Осталось исключить точку 
(точка и так не вошла в ответ).
Ответ: а) 
б) 
г) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) г) Задание парного варианта: 1913
1. Дана функция 
а) Решите уравнение 
на отрезке
б) Пусть 
Вычислите 
в) Докажите, что 
г) Решите неравенство 
на отрезке 
а) Имеем: 
Разделим на 
Получаем: 
Пусть 
тогда 
Итак: 1) 
2) 
(см. рис.)
Значит, 
или 
б) Преобразуем:
Тогда
в) Доказательство: ООВ: 
Имеем:
г) ООН: 
Используя доказанное в пункте "в", имеем: 
(см. рис.)
Ответ: 1. а) 
б) 1, г) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) 1, г) Задание парного варианта: 1922
1. Дана функция 
а) Докажите, что 
б) Решите уравнение
в) Упростите выражение 
г) Решите неравенство 
на отрезке 
а) Имеем 
б) Запишем уравнение в виде 
Значит, либо
либо 
откуда 
или 
тогда 
или 
в) Последовательно получим
г) Данное неравенство равносильно 
при условии 
то есть 
Из этого набора на указанном отрезке лежат только 
запомним, что их надо исключить из ответа, тогда
При 
получаем 
поэтому функция 
монотонно возрастает, причем 
Значит, неравенство выполнено при тех значениях x, для которых 
то есть 
Исключая точку 
получаем окончательно 
Ответ: б) 
в) −1; г) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
в) −1; г) Задание парного варианта: 1932
Пройти тестирование по этим заданиям
Наверх