Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

2.  Дана функ­ция f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­си­нус x.

а)  Вы­чис­ли­те f левая круг­лая скоб­ка 2 альфа пра­вая круг­лая скоб­ка , если из­вест­но, что f левая круг­лая скоб­ка альфа пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

б)  Ре­ши­те урав­не­ние f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс f левая круг­лая скоб­ка 3x пра­вая круг­лая скоб­ка =f левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка .

в)  До­ка­жи­те, что f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус f левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс f левая круг­лая скоб­ка 3x пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка 2 ко­си­нус в квад­ра­те x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2 ко­си­нус x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

г)  Ре­ши­те не­ра­вен­ство  дробь: чис­ли­тель: f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус f левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс f левая круг­лая скоб­ка 3x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: f левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби мень­ше 0 на от­рез­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка 0; Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  По­сле­до­ва­тель­но по­лу­чим

f левая круг­лая скоб­ка 2 альфа пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­си­нус 2 альфа =2 ко­си­нус в квад­ра­те альфа минус 1=2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби минус 1= минус дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби .

б)  При­ме­ним фор­му­лу ко­си­ну­са двой­но­го ар­гу­мен­та

 ко­си­нус x плюс ко­си­нус 3x= ко­си­нус 2x рав­но­силь­но ко­си­нус x плюс 4 ко­си­нус в кубе x минус 3 ко­си­нус x=2 ко­си­нус в квад­ра­те x минус 1.

Обо­зна­чим  ко­си­нус x=t, тогда

4t в кубе минус 2t в квад­ра­те минус 2t плюс 1=0 рав­но­силь­но 2t в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 2t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка 2t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка 2t в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =0.

Либо 2t минус 1=0, тогда t= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , от­ку­да  ко­си­нус x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , или же x=\pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, k при­над­ле­жит Z .

Либо 2t^2-1=0, тогда t=\pm дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , от­ку­да  ко­си­нус x=\pm дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , или же x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби Пи k, k при­над­ле­жит Z .

в)  По­сле­до­ва­тель­но по­лу­чим

f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус f левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс f левая круг­лая скоб­ка 3x пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­си­нус x минус ко­си­нус 2x плюс ко­си­нус 3x=
= ко­си­нус x минус левая круг­лая скоб­ка 2 ко­си­нус в квад­ра­те x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 4 ко­си­нус в кубе x минус 3 ко­си­нус x= минус левая круг­лая скоб­ка 2 ко­си­нус в квад­ра­те x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 4 ко­си­нус в кубе x минус 2 ко­си­нус x=
= минус левая круг­лая скоб­ка 2 ко­си­нус в квад­ра­те x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 ко­си­нус x левая круг­лая скоб­ка 2 ко­си­нус в квад­ра­те x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка 2 ко­си­нус x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2 ко­си­нус в квад­ра­те x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

г)  Под­ста­вив, по­лу­чим:

 дробь: чис­ли­тель: f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус f левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс f левая круг­лая скоб­ка 3x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: f левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 2 ко­си­нус x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2 ко­си­нус в квад­ра­те x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: ко­си­нус 2x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 2 ко­си­нус x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2 ко­си­нус в квад­ра­те x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 ко­си­нус в квад­ра­те x минус 1 конец дроби =2 ко­си­нус x минус 1,

при усло­вии, что 2 ко­си­нус в квад­ра­те x минус 1 не равно 0, то есть x не равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби Пи k, k при­над­ле­жит Z . На от­рез­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка 0; Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка из точек этого на­бо­ра лежат толь­ко  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби и  дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , их надо будет в любом слу­чае не вклю­чить в ответ.

Те­перь решим не­ра­вен­ство 2 ко­си­нус x минус 1 мень­ше 0, то есть  ко­си­нус x мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . По­сколь­ку на от­рез­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка 0; Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка функ­ция  ко­си­нус x убы­ва­ет и f левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка =1, а f левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , f левая круг­лая скоб­ка Пи пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 1, то в это не­ра­вен­ство под­хо­дят x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Оста­лось ис­клю­чить точку  дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби (точка  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби и так не вошла в ответ).

 

Ответ: а)  минус дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби ; б)  левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k:k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; г)  левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 1913

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, Санкт-Пе­тер­бург, 1995 год, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Вы­чис­ле­ния и пре­об­ра­зо­ва­ния в три­го­но­мет­рии, Три­го­но­мет­ри­че­ские не­ра­вен­ства, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
?
Сложность: 5 из 10