Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1908

2. Дана функция f левая круглая скобка x правая круглая скобка = косинус x.

а) Вычислите f левая круглая скобка 2 альфа правая круглая скобка , если известно, что f левая круглая скобка альфа правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .

б) Решите уравнение f левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс f левая круглая скобка 3x правая круглая скобка =f левая круглая скобка 2x правая круглая скобка .

в) Докажите, что f левая круглая скобка x правая круглая скобка минус f левая круглая скобка 2x правая круглая скобка плюс f левая круглая скобка 3x правая круглая скобка = левая круглая скобка 2 косинус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 косинус x минус 1 правая круглая скобка .

г) Решите неравенство  дробь: числитель: f левая круглая скобка x правая круглая скобка минус f левая круглая скобка 2x правая круглая скобка плюс f левая круглая скобка 3x правая круглая скобка , знаменатель: f левая круглая скобка 2x правая круглая скобка конец дроби меньше 0 на отрезке  левая квадратная скобка 0; Пи правая квадратная скобка .

Спрятать решение

Решение.

а) Последовательно получим

f левая круглая скобка 2 альфа правая круглая скобка = косинус 2 альфа =2 косинус в квадрате альфа минус 1=2 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби минус 1= минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 9 конец дроби .

б) Применим формулу косинуса двойного аргумента

 косинус x плюс косинус 3x= косинус 2x равносильно косинус x плюс 4 косинус в кубе x минус 3 косинус x=2 косинус в квадрате x минус 1.

Обозначим  косинус x=t, тогда

4t в кубе минус 2t в квадрате минус 2t плюс 1=0 равносильно 2t в квадрате левая круглая скобка 2t минус 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2t минус 1 правая круглая скобка =0 равносильно левая круглая скобка 2t в квадрате минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2t минус 1 правая круглая скобка =0.

Либо 2t минус 1=0, тогда t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , откуда  косинус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , или же x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .

Либо 2t^2-1=0, тогда t=\pm дробь: числитель: корень из 2, знаменатель: 2 конец дроби , откуда  косинус x=\pm дробь: числитель: корень из 2, знаменатель: 2 конец дроби , или же x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби Пи k, k принадлежит Z .

в) Последовательно получим

f левая круглая скобка x правая круглая скобка минус f левая круглая скобка 2x правая круглая скобка плюс f левая круглая скобка 3x правая круглая скобка = косинус x минус косинус 2x плюс косинус 3x=
= косинус x минус левая круглая скобка 2 косинус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка плюс 4 косинус в кубе x минус 3 косинус x= минус левая круглая скобка 2 косинус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка плюс 4 косинус в кубе x минус 2 косинус x=
= минус левая круглая скобка 2 косинус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка плюс 2 косинус x левая круглая скобка 2 косинус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка = левая круглая скобка 2 косинус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 косинус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка .

г) Подставив, получим:

 дробь: числитель: f левая круглая скобка x правая круглая скобка минус f левая круглая скобка 2x правая круглая скобка плюс f левая круглая скобка 3x правая круглая скобка , знаменатель: f левая круглая скобка 2x правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: левая круглая скобка 2 косинус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 косинус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: косинус 2x конец дроби = дробь: числитель: левая круглая скобка 2 косинус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 косинус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 косинус в квадрате x минус 1 конец дроби =2 косинус x минус 1,

при условии, что 2 косинус в квадрате x минус 1 не равно 0, то есть x не равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби Пи k, k принадлежит Z . На отрезке  левая квадратная скобка 0; Пи правая квадратная скобка из точек этого набора лежат только  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби и  дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби , их надо будет в любом случае не включить в ответ.

Теперь решим неравенство 2 косинус x минус 1 меньше 0, то есть  косинус x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . Поскольку на отрезке  левая квадратная скобка 0; Пи правая квадратная скобка функция  косинус x убывает и f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =1, а f левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , f левая круглая скобка Пи правая круглая скобка = минус 1, то в это неравенство подходят x принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; Пи правая квадратная скобка .

Осталось исключить точку  дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби (точка  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби и так не вошла в ответ).

 

Ответ: а)  минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 9 конец дроби ; б)  левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ; г)  левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; Пи правая квадратная скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 1913

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, Санкт-Петербург, 1995 год, вариант 1
? Классификатор: Вычисления и преобразования в тригонометрии, Тригонометрические неравенства, Тригонометрические уравнения
?
Сложность: 5 из 10