Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1917

1. Дана функция f левая круглая скобка x правая круглая скобка =2 синус в квадрате x минус синус 2x.

а) Решите уравнение f левая круглая скобка x правая круглая скобка =4 косинус в квадрате x на отрезке  левая квадратная скобка 0; Пи правая квадратная скобка .

б) Пусть g левая круглая скобка x правая круглая скобка =f левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка минус f левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка . Вычислите g левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка .

в) Докажите, что  дробь: числитель: 2f левая круглая скобка x правая круглая скобка , знаменатель: g левая круглая скобка x правая круглая скобка конец дроби = тангенс x минус 1.

г) Решите неравенство  дробь: числитель: 2f левая круглая скобка x правая круглая скобка , знаменатель: g левая круглая скобка x правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 на отрезке  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

Спрятать решение

Решение.

а) Имеем: 2 синус в квадрате x минус 2 синус x косинус x минус 4 косинус в квадрате x=0. Разделим на  косинус в квадрате x. Получаем:  тангенс в квадрате x минус тангенс x минус 2=0. Пусть  тангенс x=t, тогда t_1= минус 1, t_2=2. Итак: 1)  тангенс x= минус 1 равносильно x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z . 2)  тангенс x=2 равносильно x= арктангенс 2 плюс Пи n,n принадлежит Z . (см. рис.)

Значит, x= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби или x= арктангенс 2.

б) Преобразуем:

2 синус в квадрате левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка минус синус левая круглая скобка Пи плюс 2x правая круглая скобка минус 2 синус в квадрате левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка плюс синус левая круглая скобка Пи минус 2x правая круглая скобка =

 = 2 косинус в квадрате x плюс синус 2x минус 2 косинус в квадрате x плюс синус 2x=2 синус 2x.

Тогда

g левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка =2 синус левая круглая скобка дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка =2 синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка =1.

в) Доказательство: ООВ:  синус 2x не равно 0 равносильно x не равно дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ,k принадлежит Z . Имеем:

 дробь: числитель: 2 левая круглая скобка 2 синус в квадрате x минус синус 2x правая круглая скобка , знаменатель: 2 синус 2x конец дроби = дробь: числитель: 2 синус в квадрате x, знаменатель: синус 2x конец дроби минус дробь: числитель: синус 2x, знаменатель: синус 2x конец дроби = дробь: числитель: 2 синус в квадрате x, знаменатель: 2 синус x косинус x конец дроби минус 1= дробь: числитель: синус x, знаменатель: косинус x конец дроби минус 1= тангенс x минус 1.

г) ООН: 2 синус 2x не равно 0 равносильно синус 2x не равно 0 равносильно x не равно дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ,k принадлежит Z .

Используя доказанное в пункте "в", имеем:  тангенс x минус 1 меньше или равно 0 равносильно тангенс x меньше или равно 1 равносильно система выражений минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,x не равно 0. конец системы . (см. рис.)

 

Ответ: 1. а)  дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,  арктангенс 2, б) 1, г)  левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 1922

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, Санкт-Петербург, 1996 год, вариант 1
? Классификатор: Вычисления и преобразования в тригонометрии, Тригонометрические неравенства, Тригонометрические уравнения
?
Сложность: 5 из 10