Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1927
i

1.  Дана функ­ция f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = синус 5x минус ко­си­нус 3x минус синус x.

а)  До­ка­жи­те, что  дробь: чис­ли­тель: f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: ко­си­нус 3x конец дроби =2 синус 2x минус 1.

б)  Ре­ши­те урав­не­ние f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =0.

в)  Упро­сти­те вы­ра­же­ние  дробь: чис­ли­тель: f левая круг­лая скоб­ка x плюс Пи пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби .

г)  Ре­ши­те не­ра­вен­ство  дробь: чис­ли­тель: f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: ко­си­нус 3x конец дроби мень­ше 0 на от­рез­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Имеем  дробь: чис­ли­тель: f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: ко­си­нус 3x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 ко­си­нус 3x синус 2x минус ко­си­нус 3x, зна­ме­на­тель: ко­си­нус 3x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус 3x левая круг­лая скоб­ка 2 синус 2x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: ко­си­нус 3x конец дроби =2 синус 2x минус 1.

б)  За­пи­шем урав­не­ние в виде  ко­си­нус 3x левая круг­лая скоб­ка 2 синус 2x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =0. Зна­чит, либо

 ко­си­нус 3x=0 рав­но­силь­но 3x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи k рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , k при­над­ле­жит Z ,

либо 2 синус 2x минус 1=0 рав­но­силь­но синус 2x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , от­ку­да 2x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k или 2x= дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, k при­над­ле­жит Z , тогда x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс Пи k или x= дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс Пи k.

в)  По­сле­до­ва­тель­но по­лу­чим

 дробь: чис­ли­тель: f левая круг­лая скоб­ка x плюс Пи пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: синус 5 левая круг­лая скоб­ка x плюс Пи пра­вая круг­лая скоб­ка минус ко­си­нус 3 левая круг­лая скоб­ка x плюс Пи пра­вая круг­лая скоб­ка минус синус левая круг­лая скоб­ка x плюс Пи пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: синус 5x минус ко­си­нус 3x минус синус x конец дроби =

 дробь: чис­ли­тель: синус левая круг­лая скоб­ка 5x плюс 5 Пи пра­вая круг­лая скоб­ка минус ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 3x плюс 3 Пи пра­вая круг­лая скоб­ка минус синус левая круг­лая скоб­ка x плюс Пи пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: синус 5x минус ко­си­нус 3x минус синус x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: минус синус 5x плюс ко­си­нус 3x плюс синус x, зна­ме­на­тель: синус 5x минус ко­си­нус 3x минус синус x конец дроби = минус 1.

г)  Дан­ное не­ра­вен­ство рав­но­силь­но 2 синус 2x минус 1 мень­ше 0 при усло­вии  ко­си­нус 3x не равно 0, то есть x не равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . Из этого на­бо­ра на ука­зан­ном от­рез­ке лежат толь­ко x=\pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , за­пом­ним, что их надо ис­клю­чить из от­ве­та, тогда

2 синус 2x минус 1 мень­ше 0 рав­но­силь­но синус 2x мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

При x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка по­лу­ча­ем 2x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , по­это­му функ­ция  синус 2x мо­но­тон­но воз­рас­та­ет, при­чем  синус левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 1,  синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,  синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =1. Зна­чит, не­ра­вен­ство вы­пол­не­но при тех зна­че­ни­ях x, для ко­то­рых 2x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , то есть x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка . Ис­клю­чая точку x= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , по­лу­ча­ем окон­ча­тель­но x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ответ: б)  левая фи­гур­ная скоб­ка левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби :k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; в) −1; г)  левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 1932

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, Санкт-Пе­тер­бург, 1997 год, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Три­го­но­мет­ри­че­ские не­ра­вен­ства, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
?
Сложность: 5 из 10