Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

1.  Дана функ­ция f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = синус в квад­ра­те x плюс синус x умно­жить на ко­си­нус x.

а)  Ре­ши­те урав­не­ние f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =1 плюс ко­си­нус 2x на от­рез­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

б)  Пусть g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =f левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус x пра­вая круг­лая скоб­ка минус f левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка . Вы­чис­ли­те g левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

в)  До­ка­жи­те, что  дробь: чис­ли­тель: 2f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = тан­генс x плюс 1.

г)  Ре­ши­те не­ра­вен­ство  дробь: чис­ли­тель: 2f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби боль­ше или равно 0 на от­рез­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние

 синус в квад­ра­те x плюс синус x ко­си­нус x=1 плюс ко­си­нус 2x рав­но­силь­но  синус в квад­ра­те x плюс синус x ко­си­нус x=1 плюс 2 ко­си­нус в квад­ра­те x минус 1 рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но синус в квад­ра­те x плюс синус x ко­си­нус x минус 2 ко­си­нус в квад­ра­те x=0.

Это од­но­род­ное урав­не­ние. Раз­де­лим его на  ко­си­нус в квад­ра­те x:

 тан­генс в квад­ра­те x плюс тан­генс x минус 2=0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка тан­генс x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка тан­генс x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но  со­во­куп­ность вы­ра­же­ний тан­генс x=1, тан­генс x= минус 2 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k,x= минус арк­тан­генс 2 плюс Пи k, конец со­во­куп­но­сти . k при­над­ле­жит Z .

На ука­зан­ном от­рез­ке дли­ной π из каж­до­го се­мей­ства может ле­жать толь­ко один ответ. Оче­вид­но x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби и x= минус арк­тан­генс 2 под­хо­дят.

б)  Упро­стим вы­ра­же­ние для g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка

g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =f левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус x пра­вая круг­лая скоб­ка минус f левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка = синус в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус x пра­вая круг­лая скоб­ка ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус x пра­вая круг­лая скоб­ка минус

 минус синус в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка минус синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­си­нус в квад­ра­те x плюс ко­си­нус x синус x минус

 минус ко­си­нус в квад­ра­те x плюс ко­си­нус x синус x=2 ко­си­нус x синус x= синус 2x.

По­это­му g левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = синус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

в)  Пре­об­ра­зу­ем ис­ход­ное вы­ра­же­ние

 дробь: чис­ли­тель: 2f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 левая круг­лая скоб­ка синус в квад­ра­те x плюс синус x ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 синус x ко­си­нус x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: синус x левая круг­лая скоб­ка синус x плюс ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: синус x ко­си­нус x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: синус x плюс ко­си­нус x, зна­ме­на­тель: ко­си­нус x конец дроби =1 плюс дробь: чис­ли­тель: синус x, зна­ме­на­тель: ко­си­нус x конец дроби = тан­генс x плюс 1.

г)  Пре­об­ра­зо­вав не­ра­вен­ство по пунк­ту в) по­лу­чим  тан­генс x плюс 1 боль­ше или равно 0 при усло­вии g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка не равно 0, то есть  синус x не равно 0 и  ко­си­нус x не равно 0. Эти усло­вия за­пре­ща­ют точки x=\pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби и x=0 на дан­ном от­рез­ке.

Не­ра­вен­ство же  тан­генс x боль­ше или равно минус 1 вы­пол­не­но при x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , по­сколь­ку  тан­генс x  — мо­но­тон­но воз­рас­та­ю­щая функ­ция на ин­тер­ва­ле  левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка . Окон­ча­тель­но x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ответ: а)  левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; минус арк­тан­генс 2 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б)  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; г)  левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 1917

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, Санкт-Пе­тер­бург, 1996 год, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Вы­чис­ле­ния и пре­об­ра­зо­ва­ния в три­го­но­мет­рии, Три­го­но­мет­ри­че­ские не­ра­вен­ства, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
?
Сложность: 5 из 10