Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1922

1. Дана функция f(x)= синус в квадрате x плюс синус x умножить на косинус x.

а) Решите уравнение f(x)=1 плюс косинус 2x на отрезке  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

б) Пусть g(x)=f левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка минус f левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка . Вычислите g левая круглая скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка .

в) Докажите, что  дробь: числитель: 2f(x), знаменатель: g(x) конец дроби = тангенс x плюс 1.

г) Решите неравенство  дробь: числитель: 2f(x), знаменатель: g(x) конец дроби больше или равно 0 на отрезке  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

Спрятать решение

Решение.

а) Преобразуем уравнение

 синус в квадрате x плюс синус x косинус x=1 плюс косинус 2x равносильно  синус в квадрате x плюс синус x косинус x=1 плюс 2 косинус в квадрате x минус 1 равносильно

 равносильно синус в квадрате x плюс синус x косинус x минус 2 косинус в квадрате x=0.

Это однородное уравнение. Разделим его на  косинус в квадрате x:

 тангенс в квадрате x плюс тангенс x минус 2=0 равносильно ( тангенс x минус 1 )( тангенс x плюс 2 )=0 равносильно  совокупность выражений тангенс x=1, тангенс x= минус 2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k,x= минус \arctg 2 плюс Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .

На указанном отрезке длиной π из каждого семейства может лежать только один ответ. Очевидно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби и x= минус \arctg 2 подходят.

б) Упростим выражение для g(x)

g(x)=f левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка минус f левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка = синус в квадрате левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка плюс синус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка косинус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка минус

 минус синус в квадрате левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка минус синус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка косинус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка = косинус в квадрате x плюс косинус x синус x минус

 минус косинус в квадрате x плюс косинус x синус x=2 косинус x синус x= синус 2x.

Поэтому g левая круглая скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка = синус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .

в) Преобразуем исходное выражение

 дробь: числитель: 2f(x), знаменатель: g(x) конец дроби = дробь: числитель: 2( синус в квадрате x плюс синус x косинус x), знаменатель: 2 синус x косинус x конец дроби = дробь: числитель: синус x( синус x плюс косинус x), знаменатель: синус x косинус x конец дроби = дробь: числитель: синус x плюс косинус x, знаменатель: косинус x конец дроби =1 плюс дробь: числитель: синус x, знаменатель: косинус x конец дроби = тангенс x плюс 1.

г) Преобразовав неравенство по пункту в) получим  тангенс x плюс 1 больше или равно 0 при условии g(x) не равно 0, то есть  синус x не равно 0 и  косинус x не равно 0. Эти условия запрещают точки x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби и x=0 на данном отрезке.

Неравенство же  тангенс x больше или равно минус 1 выполнено при x принадлежит левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка , поскольку  тангенс x — монотонно возрастающая функция на интервале  левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка . Окончательно x принадлежит левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .

 

Ответ: а) \left\ дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; минус \arctg 2 \; б)  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; г)  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 1917

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, Санкт-Петербург, 1996 год, вариант 2
? Классификатор: Вычисления и преобразования в тригонометрии, Тригонометрические неравенства, Тригонометрические уравнения
?
Сложность: 5 из 10