Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1913

2. Дана функция f(x)= синус x.

а) Вычислите значение  косинус 2 альфа , если известно, что f( альфа )= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .

б) Решите уравнение f(3x) минус f(x)= косинус 2x.

в) Докажите, что f(3x) минус f(x) минус косинус 2x=(1 минус 2 синус в квадрате x)(2 синус x минус 1).

г) Решите неравенство  дробь: числитель: f(3x) минус f(x) минус косинус 2x, знаменатель: косинус 2x конец дроби меньше 0 на отрезке  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

Спрятать решение

Решение.

а) Применим формулу косинуса двойного аргумента:

 косинус 2 альфа =1 минус 2 синус в квадрате альфа =1 минус 2f в квадрате ( альфа )=1 минус 2 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби =1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби = дробь: числитель: 7, знаменатель: 8 конец дроби .

б) Запишем уравнение в виде  синус 3x минус синус x= косинус 2x. Тогда:

2 синус дробь: числитель: 3x минус x, знаменатель: 2 конец дроби косинус дробь: числитель: 3x плюс x, знаменатель: 2 конец дроби = косинус 2x равносильно  2 синус x косинус 2x= косинус 2x равносильно 2 синус x косинус 2x минус косинус 2x=0 равносильно (2 синус x минус 1) косинус 2x=0.

Либо 2 синус x минус 1=0, тогда  синус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , откуда x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .

Либо  косинус 2x=0, тогда 2x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, откуда x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби Пи k, k принадлежит Z .

в) Последовательно получим:

 f(3x) минус f(3x) минус косинус 2x= синус 3x минус синус x минус косинус 2x=
=2 синус x косинус 2x минус косинус 2x=(2 синус x минус 1) косинус 2x=(2 синус x минус 1)(1 минус 2 синус в квадрате x)

г) Имеем:

 дробь: числитель: f(3x) минус f(3x) минус косинус 2x, знаменатель: косинус 2x конец дроби = дробь: числитель: (2 синус x минус 1) косинус 2x, знаменатель: косинус 2x конец дроби =2 синус x минус 1

при условии, что  косинус 2x не равно 0, то есть x не равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби Пи k, k принадлежит Z . На отрезке [ минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ] из точек этого набора лежат только \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби , их надо будет в любом случае не включить в ответ.

Теперь решим неравенство 2 синус x минус 1 меньше 0, то есть  синус x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . Поскольку на отрезке [ минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ] функция  синус x возрастает и f( минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби )= минус 1, f( дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби )= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , f( дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби )=1, то в это неравенство подходят x принадлежит [ минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ).

Осталось исключить точку  минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби (точка  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби и так не вошла в ответ).

 

Ответ: а)  дробь: числитель: 7, знаменатель: 8 конец дроби ; б) \left\ дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z \; г)  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 1908

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, Санкт-Петербург, 1995 год, вариант 2
? Классификатор: Вычисления и преобразования в тригонометрии, Тригонометрические неравенства, Тригонометрические уравнения
?
Сложность: 5 из 10