5. Иррациональности
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
3В. Дана функция 
а) Решите неравенство 
при 
б) Решите уравнение 
при
в) Выясните, при каких значениях параметра a система уравнений 
имеет решения.
г) Выясните, при каких значениях параметра a множество решений неравенства будет лучом.
а) Неравенство можно записать в виде
ОДЗ неравенства — это 
и при 
можно возвести неравенство в квадрат, получаем 
что верно при 
Ответ:
б) Запишем уравнение
ОДЗ уравнения — это и при можно возвести неравенство в квадрат.
Ясно, что 
При этом условии можно возвести в квадрат еще раз.
Поскольку 
получаем 
так что это посторонний корень.
Ответ: 
в) Данная система сводится к уравнению 
то есть
Очевидно, при 
можно взять любое 
а при прочих a левая и правая части уравнения различаются знаком и не могут быть одновременно равны нулю.
Ответ: при 
г) Имеем:
Очевидно, при 
неравенcтво выполнено везде, где определено, то есть при такие a подходят. При 
можно возвести неравенство в квадрат.
Если 
то это неравенство выполнено при всех 
— ведь его левая часть неотрицательна, а правая отрицательна. Тем самым еще подходят 
Если же 
то неравенство сводится к 
Тем самым x ограничен и сверху и снизу и множество решений не может быть лучом.
Ответ: 
Ответ: 3В. а) 
б) 
в) 
г) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) Запишем уравнение
ОДЗ уравнения — это и при можно возвести неравенство в квадрат.
Ясно, что При этом условии можно возвести в квадрат еще раз.
Поскольку получаем так что это посторонний корень.
Ответ:
в) Данная система сводится к уравнению то есть
Очевидно, при можно взять любое а при прочих a левая и правая части уравнения различаются знаком и не могут быть одновременно равны нулю.
Ответ: при
г) Имеем:
Очевидно, при неравенcтво выполнено везде, где определено, то есть при такие a подходят. При можно возвести неравенство в квадрат.
Если то это неравенство выполнено при всех — ведь его левая часть неотрицательна, а правая отрицательна. Тем самым еще подходят
Если же то неравенство сводится к Тем самым x ограничен и сверху и снизу и множество решений не может быть лучом.
Ответ: 3В. а) б) в) г)
Задание парного варианта: 1775
3А. Дана функция 
а) Решите уравнение 
б) Решите неравенство 
в) Проверьте, является ли точка с координатами 
серединой какого-либо отрезка, концы которого лежат на графике функции 
г) Найдите все значения параметра a такие, что функция 
является четной.
а) Возведем обе части уравнения 
в квадрат, запомнив, что 
Получаем
Ответ:
б) Сразу отметим, что подкоренное выражение всегда положительно, а при 
левая часть неравенства отрицательна и оно не может выполняться. При 
неравенство не определено. Осталось разобрать случай 
то есть 
Тогда домножим неравенство на знаменатель и возведем в квадрат (это допустимо, как раз поскольку 
)
Учитывая условие 
получаем окончательно 
в) Допустим, что точка 
является серединой такого отрезка. Обозначим x — координаты его концов за 
и 
тогда сумма значений функции в этих точках должна быть равна 
Запишем это
Заметим, что функция в левой части непрерывна. Обозначим 
тогда
что дает точки 
и 
).г) Имеем:
Тогда
необходимо и достаточно выполнение условия 
то есть 
Ответ: а) 
б) 
в) да, с концами в точках с координатами 
и 
г) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) Сразу отметим, что подкоренное выражение всегда положительно, а при левая часть неравенства отрицательна и оно не может выполняться. При неравенство не определено. Осталось разобрать случай то есть Тогда домножим неравенство на знаменатель и возведем в квадрат (это допустимо, как раз поскольку )
Учитывая условие получаем окончательно
в) Допустим, что точка является серединой такого отрезка. Обозначим x — координаты его концов за и тогда сумма значений функции в этих точках должна быть равна Запишем это
Заметим, что функция в левой части непрерывна. Обозначим тогда
что дает точки и ).г) Имеем:
Тогда
необходимо и достаточно выполнение условия то есть а) б) в) да, с концами в точках с координатами и г) Задание парного варианта: 1800
3В. Дана функция 
а) Решите уравнение 
б) Изобразите на чертеже множество всех точек с координатами 
такими, что 
в) Наудачу выбирается целое число a из отрезка 
Определите вероятность того, что уравнение 
имеет целое решение.
г) Найдите все значения параметра a такие, что уравнение 
имеет решение на отрезке 
а) Решим уравнение 
Решим уравнение 
Оно, очевидно, равносильно системе
б) См. рис.
в) Заметим, что уравнение 
не имеет решений, если 
не имеет решений в целых числах, если и является четным числом, имеет целое решение, если и нечетное. (Пусть 
где 
тогда имеем: 
Итак, уравнение 
имеет целое решение в 8 случаях из 31
г) Из рисунка выше ответ очевиден: 
Ответ: 3В. а) 
б) см. рис.; в) 
г) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) см. рис.; в) г) Задание парного варианта: 1829
3В. Дана функция 
а) Решите неравенство 
б) Решите уравнение 
в) Найдите множество значений функции
г) Найдите все значения параметра a такие, что выполнение неравенства 
необходимо для выполнения неравенства 
а) Решим неравенство:
Первое неравенство (задающее ОДЗ исходного неравенства) имеет решение 
Второе сводится к
Совмещая это условие с предыдущим, получаем ответ 
б) Решим уравнение:
Одним из корней уравнения будет 
поэтому можно выделить в левой части множитель 
Получаем 
откуда 
и 
Теперь нужно проверить, что 
то есть что 
Сразу ясно, что 
поэтому этот корень посторонний. Остальные два очевидно подходят. Условие 
будет выполнено автоматически, его можно не проверять (поскольку 
).
Ответ 
в) Поскольку 
графиком этой функции является гипербола с горизонтальной асимптотой 
и такая функция принимает все значения, кроме 1. Значит, в выражении 
под корнем может стоять любое неотрицательное число, кроме единицы. Значит, результат тоже может быть любым неотрицательным числом, кроме единицы.
Ответ 
г) Фраза «выполнение неравенства 
необходимо для выполнения неравенства 
» означает, что для всех точек, где выполнено неравенство 
То есть a должно быть больше любого значения функции на множестве 
Ясно, что функция 
убывает при 
и при 
Значит, 
убывает при 
и при 
При этом
Значит, все ее значения на множестве 
будут меньше 2, при этом для 
можно подобрать значения, сколь угодно близкие к 2. То есть 
подходят, а меньшие — нет.
Ответ: 
Ответ: а) 
б) 
в) 
г) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а) б) в) г) Задание парного варианта: 1856
3В. Даны функции 
и 
а) Пусть 
Решите неравенство 
б) Найдите все значения параметра b, при которых функция 
определена на всей вещественной оси.
в) Найдите все значения b, при которых условие 
следует из условия 
г) Найдите все значения b, при которых уравнение 
не имеет решений.
а) Подставим и найдем все решения, не превосходящие 4:
Всея числа 
очевидно, являются решениями. Отсюда ясен ответ.
б) Найдем дискриминант подкоренного выражения:
Ясно, что при положительном дискриминанте функция g определена не при всех x, а при нулевом — при всех.
в) Решим уравнение 
Теперь решим уравнение 
Требуемое выполняется тогда и только тогда, когда выполнено хотя бы одно из равенств 
или 
г) Как уже отмечалось, решение уравнения число 
Выясним, когда это число удовлетворяет неравенству
Подставим и решим:
ДРУГОЕ РЕШЕНИЕ. Весьма наглядный способ решения. Корнями функции g являются числа 
Построим прямые 
(см. рис.) Сравнивая корни уравнения с помощью чертежа, получаем, что решений у данного уравнения нет при всех b из отрезка 
Ответ:3В. а) 
б) 
в) 
и 
г) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) в) и г) Задание парного варианта: 1866
Пройти тестирование по этим заданиям
Наверх