№ 1753 
Санкт-петербургские выпускные экзамены. Углубленная программа. 5. Иррациональности
i
3В. Дана функция 
а) Решите неравенство 
при 
б) Решите уравнение 
при
в) Выясните, при каких значениях параметра a система уравнений 
имеет решения.
г) Выясните, при каких значениях параметра a множество решений неравенства будет лучом.
Решение. а) Неравенство можно записать в виде
ОДЗ неравенства — это 
и при 
можно возвести неравенство в квадрат, получаем 
что верно при 
Ответ:
б) Запишем уравнение
ОДЗ уравнения — это и при можно возвести неравенство в квадрат.
Ясно, что 
При этом условии можно возвести в квадрат еще раз.
Поскольку 
получаем 
так что это посторонний корень.
Ответ: 
в) Данная система сводится к уравнению 
то есть
Очевидно, при 
можно взять любое 
а при прочих a левая и правая части уравнения различаются знаком и не могут быть одновременно равны нулю.
Ответ: при 
г) Имеем:
Очевидно, при 
неравенcтво выполнено везде, где определено, то есть при такие a подходят. При 
можно возвести неравенство в квадрат.
Если 
то это неравенство выполнено при всех 
— ведь его левая часть неотрицательна, а правая отрицательна. Тем самым еще подходят 
Если же 
то неравенство сводится к 
Тем самым x ограничен и сверху и снизу и множество решений не может быть лучом.
Ответ: 
Ответ: 3В. а) 
б) 
в) 
г) 
Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ: б) Запишем уравнение
ОДЗ уравнения — это и при можно возвести неравенство в квадрат.
Ясно, что При этом условии можно возвести в квадрат еще раз.
Поскольку получаем так что это посторонний корень.
Ответ:
в) Данная система сводится к уравнению то есть
Очевидно, при можно взять любое а при прочих a левая и правая части уравнения различаются знаком и не могут быть одновременно равны нулю.
Ответ: при
г) Имеем:
Очевидно, при неравенcтво выполнено везде, где определено, то есть при такие a подходят. При можно возвести неравенство в квадрат.
Если то это неравенство выполнено при всех — ведь его левая часть неотрицательна, а правая отрицательна. Тем самым еще подходят
Если же то неравенство сводится к Тем самым x ограничен и сверху и снизу и множество решений не может быть лучом.
Ответ: 3В. а) б) в) г)
Задание парного варианта: 1775
