Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

3А. Дана функ­ция  f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те минус 2x плюс 9.

а)  Ре­ши­те урав­не­ние  f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =3 минус 2x.

б)  Ре­ши­те не­ра­вен­ство  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2x минус 1 конец дроби .

в)  Точка  M левая круг­лая скоб­ка 1;3 пра­вая круг­лая скоб­ка яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной от­рез­ка с кон­ца­ми на гра­фи­ке функ­ции  f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка . Най­ди­те ко­ор­ди­на­ты кон­цов от­рез­ка

г)  Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра b такие, что функ­ция  g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =f левая круг­лая скоб­ка x плюс b пра­вая круг­лая скоб­ка яв­ля­ет­ся чет­ной.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Воз­ве­дем обе части урав­не­ния  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те минус 2x плюс 9 конец ар­гу­мен­та =3 минус 2x в квад­рат, за­пом­нив, что 3 минус 2x боль­ше или равно 0, то есть x мень­ше или равно 1,5.

x в квад­ра­те минус 2x плюс 9=9 минус 12x плюс 4x в квад­ра­те рав­но­силь­но 3x в квад­ра­те минус 10x=0 рав­но­силь­но x левая круг­лая скоб­ка 3x минус 10 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x=0,x= дробь: чис­ли­тель: 10}3 конец со­во­куп­но­сти . \undersetx мень­ше или равно 1,5, зна­ме­на­тель: \mathop{ рав­но­силь­но конец дроби x=0.

б)  Сразу от­ме­тим, что под­ко­рен­ное вы­ра­же­ние все­гда по­ло­жи­тель­но, а при 2x минус 1 мень­ше 0 левая часть не­ра­вен­ства по­ло­жи­тель­на, а пра­вая от­ри­ца­тель­на и оно не может вы­пол­нять­ся. При 2x минус 1=0 не­ра­вен­ство не опре­де­ле­но. Оста­лось разо­брать слу­чай 2x минус 1 боль­ше 0, то есть x боль­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Тогда до­мно­жим не­ра­вен­ство на зна­ме­на­те­ли и воз­ве­дем в квад­рат (это до­пу­сти­мо, как раз по­сколь­ку 2x минус 1 боль­ше 0)

2x минус 1 мень­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те минус 2x плюс 9 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но 4x в квад­ра­те минус 4x плюс 1 мень­ше или равно x в квад­ра­те минус 2x плюс 9 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но 3x в квад­ра­те минус 2x минус 8 мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 3x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ;2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Учи­ты­вая усло­вие x боль­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , по­лу­ча­ем окон­ча­тель­но x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; 2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

в)  До­пу­стим, что точка  левая круг­лая скоб­ка 1;3 пра­вая круг­лая скоб­ка яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной та­ко­го от­рез­ка. Обо­зна­чим x  — ко­ор­ди­на­ты его кон­цов за 1 минус x и 1 плюс x, тогда сумма зна­че­ний функ­ции в этих точ­ках долж­на быть равна 2 умно­жить на 3=6. За­пи­шем это

 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка 1 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 2 левая круг­лая скоб­ка 1 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 9 конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка 1 плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 2 левая круг­лая скоб­ка 1 плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 9 конец ар­гу­мен­та =6 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус 2x плюс x в квад­ра­те минус 2 плюс 2x плюс 9 конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 плюс 2x плюс x в квад­ра­те минус 2 минус 2x плюс 9 конец ар­гу­мен­та =6 рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те плюс 8 конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те плюс 8 конец ар­гу­мен­та =6 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те плюс 8 конец ар­гу­мен­та =6 рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те плюс 8 конец ар­гу­мен­та =3 рав­но­силь­но x в квад­ра­те плюс 8=9 рав­но­силь­но x в квад­ра­те =1 рав­но­силь­но x=\pm 1.

Зна­чит x  — ко­ор­ди­на­ты этих точек равны 1\pm 1, то есть 0 и 2. Зна­чит, это точки  левая круг­лая скоб­ка 0;3 пра­вая круг­лая скоб­ка и  левая круг­лая скоб­ка 2;3 пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

г)  Имеем:

g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =f левая круг­лая скоб­ка x плюс b пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка x плюс b пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 2 левая круг­лая скоб­ка x плюс b пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 9 конец ар­гу­мен­та =
= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те плюс 2bx плюс b в квад­ра­те минус 2x минус 2b плюс 9 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 2b минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс b в квад­ра­те минус 2b плюс 9 конец ар­гу­мен­та .

Тогда

g левая круг­лая скоб­ка минус x пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка 2b минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс b в квад­ра­те минус 2b плюс 9 конец ар­гу­мен­та ,

и для ра­вен­ства g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =g левая круг­лая скоб­ка минус x пра­вая круг­лая скоб­ка не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но вы­пол­не­ние усло­вия 2b минус 2=0, то есть b=1.

 

Ответ: а)  левая фи­гур­ная скоб­ка 0 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б)  левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка ; в)  левая круг­лая скоб­ка 0;3 пра­вая круг­лая скоб­ка и  левая круг­лая скоб­ка 2;3 пра­вая круг­лая скоб­ка ; г)  b=1.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 1795

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, Санкт-Пе­тер­бург, 1994 год, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ир­ра­ци­о­наль­ные не­ра­вен­ства, Ир­ра­ци­о­наль­ные урав­не­ния и их си­сте­мы, Ис­сле­до­ва­ние функ­ций, Функ­ции, за­ви­ся­щие от па­ра­мет­ра
?
Сложность: 9 из 10