Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1775
i

3В. Дана функ­ция f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =b ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 3 конец ар­гу­мен­та минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x плюс 4 конец ар­гу­мен­та .

а)  Ре­ши­те не­ра­вен­ство f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0 при b=1.

б)  Ре­ши­те урав­не­ние f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 4=0 при b=1.

в)  Вы­яс­ни­те, при каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра b си­сте­ма урав­не­ний си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка y= минус f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка , новая стро­ка y= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 3 конец ар­гу­мен­та минус b ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x плюс 4 конец ар­гу­мен­та конец си­сте­мы . имеет ре­ше­ния.

г)  Вы­яс­ни­те, при каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра b не­ра­вен­ство f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0 не имеет ре­ше­ний.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Не­ра­вен­ство можно за­пи­сать в виде

ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 3 конец ар­гу­мен­та минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x плюс 4 конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x плюс 4 конец ар­гу­мен­та боль­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 3 конец ар­гу­мен­та .

ОДЗ не­ра­вен­ства  — это левая квад­рат­ная скоб­ка 3; бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка , и при x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 3; бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка можно воз­ве­сти не­ра­вен­ство в квад­рат, по­лу­ча­ем 2x плюс 4 боль­ше или равно x минус 3 рав­но­силь­но x боль­ше или равно минус 7, что верно при x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 3; бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Ответ: x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 3; бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

б)  За­пи­шем урав­не­ние

ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 3 конец ар­гу­мен­та минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x плюс 4 конец ар­гу­мен­та плюс 4=0 рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x плюс 4 конец ар­гу­мен­та =4 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 3 конец ар­гу­мен­та .

ОДЗ урав­не­ния  — это левая квад­рат­ная скоб­ка 3; бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка , и при x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 3; бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка можно воз­ве­сти не­ра­вен­ство в квад­рат

2x плюс 4=16 плюс 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 3 конец ар­гу­мен­та плюс x минус 3 рав­но­силь­но x минус 9=8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 3 конец ар­гу­мен­та .

Ясно, что x боль­ше или равно 9. При этом усло­вии можно воз­ве­сти в квад­рат еще раз.

x в квад­ра­те минус 18x плюс 81=64 левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус 18x плюс 81=64x минус 192 рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус 82x плюс 273=0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но x=41\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1681 минус 273 конец ар­гу­мен­та =41\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1408 конец ар­гу­мен­та =41\pm 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 88 конец ар­гу­мен­та =41\pm 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 22 конец ар­гу­мен­та .

По­сколь­ку ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 22 конец ар­гу­мен­та боль­ше 4, по­лу­ча­ем 41 минус 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 22 конец ар­гу­мен­та мень­ше 41 минус 8 умно­жить на 4=41 минус 32=9, так что это по­сто­рон­ний ко­рень.

Ответ: x=41 плюс 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 22 конец ар­гу­мен­та .

в)  Дан­ная си­сте­ма сво­дит­ся к урав­не­нию минус f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 3 конец ар­гу­мен­та минус b ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x плюс 4 конец ар­гу­мен­та , то есть

минус левая круг­лая скоб­ка b ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 3 конец ар­гу­мен­та минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x плюс 4 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 3 конец ар­гу­мен­та минус b ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x плюс 4 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но
рав­но­силь­но минус b ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 3 конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x плюс 4 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 3 конец ар­гу­мен­та минус b ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x плюс 4 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x плюс 4 конец ар­гу­мен­та левая круг­лая скоб­ка b плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 3 конец ар­гу­мен­та левая круг­лая скоб­ка b плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Оче­вид­но, при b= минус 1 можно взять любое x боль­ше или равно 3 а при про­чих b после со­кра­ще­ния на b плюс 1 и воз­ве­де­ния в квад­рат по­лу­чен­но­го урав­не­ния по­лу­чим 2x плюс 4=x минус 3, от­ку­да x= минус 7, но такое x не вхо­дит в ОДЗ.

Ответ: при b= минус 1.

г)  Имеем:

b ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 3 конец ар­гу­мен­та минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x плюс 4 конец ар­гу­мен­та боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x плюс 4 конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно b ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 3 конец ар­гу­мен­та .

Оче­вид­но, при b мень­ше или равно 0 не­ра­венcтво не вы­пол­не­но нигде (по­ло­жи­тель­ное число не может быть не боль­ше не­по­ло­жи­тель­но­го), такие b под­хо­дят. При b боль­ше 0 можно воз­ве­сти не­ра­вен­ство в квад­рат.

2x плюс 4 мень­ше или равно b в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но 2x плюс 4 мень­ше или равно b в квад­ра­те x минус 3b в квад­ра­те рав­но­силь­но x левая круг­лая скоб­ка 2 минус b в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно минус 3b в квад­ра­те минус 4.

Если 2 минус b в квад­ра­те боль­ше или равно 0, то это не­ра­вен­ство не вы­пол­не­но нигде  — не­от­ри­ца­тель­ное число не может быть не боль­ше от­ри­ца­тель­но­го. Тем самым еще под­хо­дят a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0; ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Если же 2 минус b в квад­ра­те мень­ше 0, то не­ра­вен­ство сво­дит­ся к x боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: минус 3b в квад­ра­те минус 4, зна­ме­на­тель: 2 минус b в квад­ра­те конец дроби . Тем самым ре­ше­ни­я­ми не­ра­вен­ства будут x боль­ше или равно \max левая круг­лая скоб­ка 3; дробь: чис­ли­тель: минус 3b в квад­ра­те минус 4, зна­ме­на­тель: 2 минус b в квад­ра­те конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка   — это не­пу­стое мно­же­ство.

Ответ: b при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

 

Ответ: а) левая квад­рат­ная скоб­ка 3; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка ; б) левая фи­гур­ная скоб­ка 41 плюс 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 22 конец ар­гу­мен­та пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; в) b= минус 1; г) b мень­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 1753

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, Санкт-Пе­тер­бург, 1993 год, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ир­ра­ци­о­наль­ные не­ра­вен­ства, Ир­ра­ци­о­наль­ные урав­не­ния и их си­сте­мы, Не­ра­вен­ства с па­ра­мет­ром, Си­сте­мы с па­ра­мет­ром, Функ­ции, за­ви­ся­щие от па­ра­мет­ра
?
Сложность: 9 из 10
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025