Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1861
i

3В. Даны функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс b конец ар­гу­мен­та и g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те минус 2 левая круг­лая скоб­ка b плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс 4b.

а)  Пусть b= минус 2. Ре­ши­те не­ра­вен­ство f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 4 минус x.

б)  Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра b, при ко­то­рых функ­ция g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка опре­де­ле­на на всей ве­ще­ствен­ной оси.

в)  Най­ди­те все зна­че­ния b, при ко­то­рых усло­вие g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =0 сле­ду­ет из усло­вия f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =0.

г)  Най­ди­те все зна­че­ния b, при ко­то­рых урав­не­ние f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на g в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =0 не имеет ре­ше­ний.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Под­ста­вим и най­дем все ре­ше­ния, не пре­вос­хо­дя­щие 4:

ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 2 конец ар­гу­мен­та боль­ше 4 минус x рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x минус 2 боль­ше 16 минус 8x плюс x в квад­ра­те ,4 минус x боль­ше или равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x в квад­ра­те минус 9x плюс 18 мень­ше 0,x мень­ше или равно 4 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но

 

си­сте­ма вы­ра­же­ний левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0,x мень­ше или равно 4 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но 3 мень­ше x мень­ше или равно 4.

Всея числа x боль­ше 4, оче­вид­но, яв­ля­ют­ся ре­ше­ни­я­ми. От­сю­да ясен ответ.

б)  Най­дем дис­кри­ми­нант под­ко­рен­но­го вы­ра­же­ния:

D=b в квад­ра­те плюс 2b плюс 1 минус 4b= левая круг­лая скоб­ка b минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те .

Ясно, что при по­ло­жи­тель­ном дис­кри­ми­нан­те функ­ция g опре­де­ле­на не при всех x, а при ну­ле­вом  — при всех.

в)  Решим урав­не­ние g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =0:

ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те минус 2 левая круг­лая скоб­ка b плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс 4b=0 рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус 2 левая круг­лая скоб­ка b плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс 4b=0 рав­но­силь­но

x в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка 2b плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 умно­жить на 2b=0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 2b пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x=2,x=2b. конец со­во­куп­но­сти .

Те­перь решим урав­не­ние f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =0:

ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс b конец ар­гу­мен­та =0 рав­но­силь­но x плюс b=0 рав­но­силь­но x= минус b.

Тре­бу­е­мое вы­пол­ня­ет­ся тогда и толь­ко тогда, когда вы­пол­не­но хотя бы одно из ра­венств минус b=2, минус b=2b, т. е. если b=0 или b= минус 2.

г)  Как уже от­ме­ча­лось, ре­ше­ние урав­не­ния f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =0 число x= минус b. Вы­яс­ним, когда это число удо­вле­тво­ря­ет не­ра­вен­ству

x в квад­ра­те минус 2 левая круг­лая скоб­ка b плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс 4b мень­ше или равно 0, т. е. не удо­вле­тво­ря­ет ОДЗ.

Под­ста­вим и решим:

левая круг­лая скоб­ка минус b пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 2 левая круг­лая скоб­ка b плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка минус b пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 4b мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но b в квад­ра­те плюс 2b в квад­ра­те плюс 2b плюс 4b\leqslant0 рав­но­силь­но

рав­но­силь­но 3b в квад­ра­те плюс 6b мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но b левая круг­лая скоб­ка b плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но минус 2 мень­ше или равно b мень­ше или равно 0.

ДРУ­ГОЕ РЕ­ШЕ­НИЕ. Весь­ма на­гляд­ный спо­соб ре­ше­ния. Кор­ня­ми функ­ции g яв­ля­ют­ся числа x=2, x=2b. По­стро­им пря­мые x=2, x=2b, x= минус b (см. рис.) Срав­ни­вая корни урав­не­ния с по­мо­щью чер­те­жа, по­лу­ча­ем, что ре­ше­ний у дан­но­го урав­не­ния нет при всех b из от­рез­ка левая квад­рат­ная скоб­ка минус 2; 0 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

 

Ответ:3В. а) левая круг­лая скоб­ка 3; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка ; б) b=1; в) b=0 и b= минус 2; г) левая квад­рат­ная скоб­ка минус 2;0 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 1866

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, Санкт-Пе­тер­бург, 1999 год, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ир­ра­ци­о­наль­ные не­ра­вен­ства, Урав­не­ния с па­ра­мет­ром, Функ­ции, за­ви­ся­щие от па­ра­мет­ра
?
Сложность: 9 из 10
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025