Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1829

3В. Дана функция  f(x)= корень из (1 минус 2x) .

а) Решите уравнение  (3 минус f(x))(f(x) плюс 0,75x)=0.

б) Изобразите на чертеже множество всех точек с координатами  (x;y) такими, что  минус 0,75x меньше или равно y меньше или равно f(x).

в) Наудачу выбирается целое число a из отрезка  [ минус 12;12]. Определите вероятность того, что уравнение  f(x)=a имеет целое решение.

г) Найдите все значения параметра a такие, что уравнение  f(x)=ax не имеет решений на отрезке  [ минус 4;0].

Спрятать решение

Решение.

а) Данное уравнение сводится к двум вариантам:

1) либо f(x)=3:

 корень из (1 минус 2x) =3 равносильно 1 минус 2x=9 равносильно 2x= минус 8 равносильно x= минус 4.

2) либо f(x)= минус 0,75x:

 корень из (1 минус 2x) = минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби x равносильно 1 минус 2x= дробь: числитель: 9, знаменатель: 16 конец дроби x в квадрате  равносильно 9x в квадрате плюс 32x минус 16=0

 равносильно x= дробь: числитель: минус 32\pm корень из (32 в квадрате плюс 4 умножить на 9 умножить на 16) , знаменатель: 18 конец дроби = дробь: числитель: минус 32\pm 4 корень из (8 в квадрате плюс 4 умножить на 9) , знаменатель: 18 конец дроби = дробь: числитель: минус 16\pm 2 корень из (100) , знаменатель: 9 конец дроби = дробь: числитель: минус 16\pm 20, знаменатель: 9 конец дроби ,

отсюда x= минус 4 или x= дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби , где второй корень является посторонним, т. к.  минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби x меньше 0 . Итого, x= минус 4.

б)  График функции y= корень из (1 минус 2x)  — ветвь параболы, направленная влево с вершиной в точке  левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; 0 правая круглая скобка . График функции y= минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби x — прямая, проходящая через начало координат и точку ( минус 4; 3), где она пересекается с ветвью параболы (см. пункт а). Значит, условию удовлетворяют все точки, расположенные между этими графиками при x принадлежит левая квадратная скобка минус 4; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка . График изображен справа на рисунке.

в) Всего на этом отрезке 25 целых чисел. Если выбрать отрицательное, то решений точно не будет. Если же выбрать неотрицательное, то можно будет возвести уравнение в квадрат

1 минус 2x=a в квадрате равносильно x= дробь: числитель: 1 минус a в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби .

Чтобы это число получилось целым, a в квадрате должно быть нечетным. Значит, и a должно быть нечетно. Таких неотрицательных a ровно 6 это 1, 3, 5, 7, 9, 11. Значит, ответ  дробь: числитель: 6, знаменатель: 25 конец дроби .

г) Рассмотрим рисунок в пункте б) и найдем вначале, при каких значениях параметра уравнение имеет решения. Прямые, проходящие через начало координат (y=ax) пересекают график y=f(x) при a меньше или равно минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби (при a= минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби пересечение происходит в точке ( минус 4; 3), а при более отрицательных a - в точке с абсциссой от −4 до 0, поскольку прямая сильнее наклонена). При a принадлежит левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби ; 0 правая круглая скобка прямые слишком пологие, чтобы было пересечение с нужной частью графика, а при a больше или равно 0 вообще наклонены в другую сторону и не проходят через вторую четверть. Следовательно, решения есть при a меньше или равно минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби , поэтому уравнение не имеет решений при  a больше минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби .

 

Ответ: а)  \ минус 4\; б) см. рис.; в)  дробь: числитель: 6, знаменатель: 25 конец дроби ; г)  a больше минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 1807

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, Санкт-Петербург, 1996 год, вариант 2
? Классификатор: Иррациональные уравнения и их системы, Исследование функций, Построение графиков функций, графиков уравнений, Уравнения с параметром
?
Сложность: 9 из 10