№ 1795 
Санкт-петербургские выпускные экзамены. Углубленная программа. 5. Иррациональности
i
3А. Дана функция 
а) Решите уравнение 
б) Решите неравенство 
в) Проверьте, является ли точка с координатами 
серединой какого-либо отрезка, концы которого лежат на графике функции 
г) Найдите все значения параметра a такие, что функция 
является четной.
Решение. а) Возведем обе части уравнения 
в квадрат, запомнив, что 
Получаем
Ответ:
б) Сразу отметим, что подкоренное выражение всегда положительно, а при 
левая часть неравенства отрицательна и оно не может выполняться. При 
неравенство не определено. Осталось разобрать случай 
то есть 
Тогда домножим неравенство на знаменатель и возведем в квадрат (это допустимо, как раз поскольку 
)
Учитывая условие 
получаем окончательно 
в) Допустим, что точка 
является серединой такого отрезка. Обозначим x — координаты его концов за 
и 
тогда сумма значений функции в этих точках должна быть равна 
Запишем это
Заметим, что функция в левой части непрерывна. Обозначим 
тогда
поэтому в некоторой промежуточной точке функция принимает и значение 6, поэтому ответ — да, является. (Формально в условии нигде не написано, что надо находить этот отрезок. Но если решить полученное уравнение, то можно найти
что дает точки
и
).
г) Имеем:
Тогда
и для равенства
необходимо и достаточно выполнение условия
то есть
Ответ: а) 
б) 
в) да, с концами в точках с координатами 
и 
г) 
Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ: б) Сразу отметим, что подкоренное выражение всегда положительно, а при левая часть неравенства отрицательна и оно не может выполняться. При неравенство не определено. Осталось разобрать случай то есть Тогда домножим неравенство на знаменатель и возведем в квадрат (это допустимо, как раз поскольку )
Учитывая условие получаем окончательно
в) Допустим, что точка является серединой такого отрезка. Обозначим x — координаты его концов за и тогда сумма значений функции в этих точках должна быть равна Запишем это
Заметим, что функция в левой части непрерывна. Обозначим тогда
поэтому в некоторой промежуточной точке функция принимает и значение 6, поэтому ответ — да, является. (Формально в условии нигде не написано, что надо находить этот отрезок. Но если решить полученное уравнение, то можно найти
что дает точки
и
).
г) Имеем:
Тогда
и для равенства
необходимо и достаточно выполнение условия
то есть
а)
б)
в) да, с концами в точках с координатами
и
г)
Задание парного варианта: 1800
