Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1807

3В. Дана функция  f левая круглая скобка x правая круглая скобка = корень из 4x плюс 1.

а) Решите уравнение  левая круглая скобка f левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 1,5x правая круглая скобка левая круглая скобка f левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка =0.

б) Изобразите на чертеже множество всех точек с координатами  левая круглая скобка x;y правая круглая скобка такими, что  1,5x меньше или равно y меньше или равно f левая круглая скобка x правая круглая скобка .

в) Наудачу выбирается целое число a из отрезка  левая квадратная скобка минус 15;15 правая квадратная скобка . Определите вероятность того, что уравнение  f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a имеет целое решение.

г) Найдите все значения параметра a такие, что уравнение  f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax имеет решение на отрезке  левая круглая скобка 0;2 правая круглая скобка .

Спрятать решение

Решение.

а) Решим уравнение  корень из 4x плюс 1=3, x=2. Решим уравнение  корень из 4x плюс 1= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби x. Оно, очевидно, равносильно системе

 система выражений 4x плюс 1= дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби x в квадрате ,x больше 0. конец системы .

б) См. рис.

в) Заметим, что уравнение f левая круглая скобка x правая круглая скобка =0 не имеет решений, если a меньше 0, не имеет решений в целых числах, если a больше 0 и является четным числом, имеет целое решение, если a больше 0 и нечетное. (Пусть a=2k плюс 1, где k принадлежит N \cup левая фигурная скобка 0 правая фигурная скобка , тогда имеем: 4x плюс 1=4k в квадрате плюс 4k плюс 1 равносильно x=k в квадрате плюс k правая круглая скобка . Итак, уравнение f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a имеет целое решение в 8 случаях из 31

г) Из рисунка выше ответ очевиден: a больше дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .

Ответ: 3В. а)  левая фигурная скобка 2 правая фигурная скобка ; б) см. рис.; в)  дробь: числитель: 8, знаменатель: 31 конец дроби ; г)  a больше дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 1829

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, Санкт-Петербург, 1996 год, вариант 1
? Классификатор: Иррациональные уравнения и их системы, Построение графиков функций, графиков уравнений, Уравнения с параметром
?
Сложность: 9 из 10