4. Исследование функция и построение графиков
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
3.Б. Дана функция 
а) Постройте график функции f.
б) Найдите первообразную для функции f, график которой проходит через точку с координатами 
в) Напишите уравнение касательной l к графику функции f в точке графика с абсциссой 
г) Найдите площадь фигуры, расположенной во второй координатной четверти и ограниченной графиком функции f, касательной l и осью ординат.
и отрицательна (а функция убывает) при 
поэтому 
—
—
и 
Это позволяет построить график (см. рис.).
имеет вид 
Учитывая условие про координаты точки, получаем 
и 
уравнение касательной имеет вид 
или 
то есть касательная горизонтальна.
в) 
г) 
Задание парного варианта: 1895
3.А. Дана функция 
а) Решите уравнение 
б) Постройте график функции 
в) Найдите наименьшее и наибольшее значения функции 
на отрезке 
г) Найдите площадь фигуры, расположенной в третьей координатной четверти и ограниченной графиком функции и прямой 
Асимптот график не имеет. Возьмем производную
и положительно при 
или 
Значит, функция возрастает на 
убывает на 
и возрастает на 
При 
Возьмем вторую производную 
что положительно при 
и отрицательно при 
Значит, функция выпукла вниз при 
у функции точка перегиба, 
График изображен на рисунке.
пересекает график функции при 
и 
мы не рассматриваем). Поскольку функция выпукла вверх при 
ее график лежит выше секущей. Поэтому 
б) см. рис.; в) −4 и 0; г) 4.Задание парного варианта: 1904
Дана функция 
а) Найдите первообразную 
функции 
график которой проходит через точку с координатами 
б) Постройте график найденной первообразной.
в) Найдите уравнение касательной к графику найденной первообразной в его точке с абсциссой 
г) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций и отрезком 
оси абсцисс.
При этом после подстановки 
должно получаться 18, то есть 
тогда 
или же просто 
поймем, что ее корни 
У нее нет асимптот. Ее производная 
положительна при 
и при 
и отрицательна при 
поэтому ама функция возрастает при 
и при 
и убывает при 
Следовательно, 
— ее точка минимума, 
положительна при 
и отрицательна при 
поэтому функция выпукла вверх при 
и выпукла вниз при 
Точка 
— ее точка перегиба
и 
уравнение касательной имеет вид 
то есть 
Касательной является ось абсцисс.
и что 
при 
а также 
при 
(все это следует из пункта б).
Последнее нас не интересует, оно не лежит на указанном отрезке. 
например 
Тогда 
значит, на этом участке график 
идет выше графика 
например 
значит, на этом участке график 
графиком 
на промежутке 
графиком 
б) см. рис.; в) 
г) 
Задание парного варианта: 1915
3.Б. Дана функция 
а) Напишите уравнение прямой l, касающейся графика функции в его точке с абсциссой 
б) Постройте график функции и прямую l.
в) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции прямой l и осью Oy.
г) Найдите все значения параметра a такие, что уравнение 
имеет ровно два различных корня.
Тогда 
при 
См. рис.
Решим 
то уравнение имеет два различных корня. Для уравнения 
Очевидно, что 
при 
следовательно, 
г) 
Задание парного варианта: 1925
3.А. Дана функция 
а) Найдите уравнение касательной к графику функции в его точке с абсциссой 
б) Постройте график функции
в) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции прямой 
осью Oy и лежащей в первой координатной четверти.
г) Длина бокового ребра правильной четырехугольной пирамиды равна 
см. Найдите наибольший объем такой пирамиды.
поэтому 
Кроме того 
поэтому уравнение касательной имеет вид 
или же 
— касательная горизонтальна.
поймем, что ее корни 
У нее нет асимптот. Ее производная 
отрицательна при 
и положительна при 
и при 
и возрастает при 
Следовательно, 
Ее вторая производная 
положительна при 
поэтому функция выпукла вверх при 
Осталось построить график. 
Тогда объем пирамиды равен 
Как мы уже знаем, эта функция возрастает при 
и убывает при 
поэтому ее наибольшее значение достигается при 
и равно 
б) см. рис.; в) 
г) 
Задание парного варианта: 1934
Пройти тестирование по этим заданиям