3.А. Дана функция 
а) Найдите уравнение касательной к графику функции 
в его точке с абсциссой 
б) Постройте график функции 
в) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции 
прямой 
осью Oy и лежащей в первой координатной четверти.
г) Пусть PABCD — четырехугольная пирамида, в основании которой лежит квадрат. Боковое ребро PB перпендикулярно основанию ABCD, длина ребра PD равна 
см. Найдите наибольший объем такой пирамиды.
а) Вычислим сначала производную данной функции 
поэтому 
Кроме того 
поэтому уравнение касательной имеет вид 
то есть 
— касательная горизонтальна.
б) Функция f(x) — кубический многочлен. Она определена везде и принимает все значения. Она нечетная. Записав ее в виде 
поймем, что ее корни 
и 
У нее нет асимптот. Ее производная 
отрицательна при 
и при 
и положительна при 
поэтому cама функция убывает при 
и при 
и возрастает при 
Следовательно, 
— ее точка максимума, а 
— ее точка минимума, 
Ее вторая производная 
положительна при 
и отрицательна при 
поэтому функция выпукла вверх при 
и выпукла вниз при 
Точка — ее точка перегиба, 
Осталось построить график.
в) Поскольку при функция выпукла вниз, то ее график лежит ниже касательной. Поэтому
г) Пусть ребро основания пирамиды PABCD равно x, а ее высота SB равна h, тогда
откуда 
Тогда объем пирамиды равен
и нам нужно найти наибольшее значение этой функии при 
Как мы уже знаем, эта функция возрастает при 
и убывает при 
поэтому ее наибольшее значение достигается при 
и равно 
Ответ: а) 
б) см. рис.; в) 2; г) 
Задание парного варианта: 1929