Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1925

3.Б. Дана функция f(x)=3x в квадрате минус x в кубе минус 3x.

а) Напишите уравнение прямой m, касающейся графика функции y=f(x) в его точке с абсциссой x_0=1.

б) Постройте график функции y=f(x) и прямую m.

в) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=f(x), прямой m и осью Oy.

г) Найдите все значения параметра b такие, что уравнение  дробь: числитель: f(x), знаменатель: x конец дроби =b имеет ровно одно решение.

Спрятать решение

Решение.

а) Уравнение касательной в общем виде y=f(x_0) плюс f'(x_0)(x минус x_0). Найдём значение функции и значение производной в точке x_0=1:

f(x_0)=f(1)=3 умножить на 1 в квадрате минус 1 в кубе минус 3 умножить на 1= минус 1;

f'(x)=6x минус 3x в квадрате минус 3; f'(x_0)=f'(1)=6 умножить на 1 минус 3 умножить на 1 в квадрате минус 3=0.

Подставим найденные значения в уравнение касательной в общем виде: y= минус 1 плюс 0(x минус 1). Уравнение искомой прямой m — y= минус 1.

 

б) ООФ: ( минус принадлежит fty; плюс принадлежит fty).

Исследуем функцию с помощью производной: f'(x)=6x минус 3x в квадрате минус 3.

Стационарные точки найдём из условия f'(x)=0:

6x минус 3x в квадрате минус 3=0 равносильно минус 3(x минус 1) в квадрате =0 равносильно x=1.

Вычислим значения функции в некоторых точках:

 

x−1023
y70−2−9

Построим график.

 

в) Данная фигура сверху ограничена графиком функции y=f(x), снизу — прямой y= минус 1. Пределы интегрирования: x=0 и x=1.

Вычислим площадь фигуры с помощью определённого интеграла:

S= принадлежит t\limits_0 в степени (1) левая круглая скобка f(x) минус ( минус 1) правая круглая скобка dx= принадлежит t\limits_0 в степени (1) (3x в квадрате минус x в кубе минус 3x плюс 1)dx=\left. левая круглая скобка x в кубе минус дробь: числитель: x в степени 4 , знаменатель: 4 конец дроби минус дробь: числитель: 3x в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка |\limiits_0 в степени (1) =1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби плюс 1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .

 

г) Преобразуем уравнение:

 дробь: числитель: 3x в квадрате минус x в кубе минус 3x, знаменатель: x конец дроби =b равносильно система выражений x в квадрате минус 3x плюс 3 плюс b=0,x не равно 0 конец системы .

Полученная система имеет ровно одно решение в двух случаях, или если квадратное уравнение имеет два корня, один из которых равен нулю, а другой не равен нулю, или если квадратное уравнение имеет один корень (D = 0), который не равен нулю.

Нуль является корнем при b= минус 3, при этом второй корень уравнения равен 3 (этот случай подходит). Вычислим дискриминант: D=( минус 3) в квадрате минус 4 умножить на (3 плюс b)= минус 3 плюс 4b. Он равен нулю при b= минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби , при этом единственный корень уравнения равен  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби (этот случай тоже подходит).

Ответ: а) y= минус 1; б) см. рис.; в)  дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ; г) \left\ минус 3; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 1920

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, Санкт-Петербург, 1996 год, вариант 2
? Классификатор: Интеграл, вычисление площадей , Исследование функций, Касательная к графику функции, Построение графиков функций, графиков уравнений, Уравнения с параметром
?
Сложность: 5 из 10