Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1910

Дана функция f левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в квадрате минус 3x.

а) Найдите первообразную y=F левая круглая скобка x правая круглая скобка функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка , график которой проходит через точку с координатами  левая круглая скобка 6;18 правая круглая скобка .

б) Постройте график найденной первообразной.

в) Найдите уравнение касательной к графику найденной первообразной y=F левая круглая скобка x правая круглая скобка в его точке с абсциссой x_0=0.

г) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка , y=F левая круглая скобка x правая круглая скобка и отрезком  левая квадратная скобка 0;3 правая квадратная скобка оси абсцисс.

Спрятать решение

Решение.

а) Любая первообразная данной функции имеет вид  дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби x в кубе минус 3 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате плюс C= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби x в кубе минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате плюс C. При этом после подстановки x=6 должно получаться 18, то есть  дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 216 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 36 плюс C=18, тогда 72 минус 54 плюс C=18, или же просто C=0.

б) Функция F(x) — кубический многочлен. Она определена везде и принимает все значения. Записав ее в виде x в квадрате левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби x минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби x в квадрате левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка поймем, что ее корни x=0 и x= дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби . У нее нет асимптот. Ее производная F' левая круглая скобка x правая круглая скобка =f левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в квадрате минус 3x=x левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка положительна при x меньше 0 и при x больше 3 и отрицательна при x принадлежит левая круглая скобка 0;3 правая круглая скобка , поэтому ама функция возрастает при x меньше или равно 0 и при x больше или равно 3 и убывает при x принадлежит левая квадратная скобка 0;3 правая квадратная скобка . Следовательно, x=0 — ее точка максимума, а x=3 — ее точка минимума, f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =0, f левая круглая скобка 3 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 27 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 9=9 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 9= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 9= минус 4,5.

Ее вторая производная F'' левая круглая скобка x правая круглая скобка =f' левая круглая скобка x правая круглая скобка = левая круглая скобка x в квадрате минус 3x правая круглая скобка '=2x минус 3 положительна при x больше дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби и отрицательна при x меньше дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби , поэтому функция выпукла вверх при x меньше дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби и выпукла вниз при x больше дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби . Точка x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби  — ее точка перегиба

f левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: 27, знаменатель: 8 конец дроби минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: 9, знаменатель: 8 конец дроби минус дробь: числитель: 27, знаменатель: 8 конец дроби = минус дробь: числитель: 18, знаменатель: 8 конец дроби = минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби .

Осталось построить график.

в) Поскольку F левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =0 и F' левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =0, уравнение касательной имеет вид y=0 левая круглая скобка x минус 0 правая круглая скобка плюс 0, то есть y=0. Касательной является ось абсцисс.

г) Сразу отметим, что f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =f левая круглая скобка 3 правая круглая скобка =0, и что f левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше 0 при x принадлежит левая круглая скобка 0;3 правая круглая скобка , а также F левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше 0 при x принадлежит левая круглая скобка 0;4,5 правая круглая скобка (все это следует из пункта б).

Решим сначала уравнение F левая круглая скобка x правая круглая скобка =f левая круглая скобка x правая круглая скобка :

 дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби x в кубе минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате =x в квадрате минус 3x равносильно 2x в кубе минус 9x в квадрате =6x в квадрате минус 18x равносильно 2x в кубе минус 15x в квадрате плюс 18x=0 равносильно
 равносильно x левая круглая скобка 2x в квадрате минус 15x плюс 18 правая круглая скобка =0 равносильно x левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x минус 3 правая круглая скобка =0,

откуда x=0, x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби и x=6. Последнее нас не интересует, оно не лежит на указанном отрезке.

Возьмем любое x принадлежит левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка , например x=1. Тогда F левая круглая скобка 1 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби = минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 6 конец дроби больше минус 2=f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка , значит, на этом участке график F левая круглая скобка x правая круглая скобка идет выше графика f левая круглая скобка x правая круглая скобка .

Возьмем любое x принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ;3 правая круглая скобка , например x=2. Тогда F левая круглая скобка 2 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 8 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 4= дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби минус 6= минус дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби меньше минус 2=f левая круглая скобка 2 правая круглая скобка , значит, на этом участке график F левая круглая скобка x правая круглая скобка идет ниже графика f левая круглая скобка x правая круглая скобка .

Итак, область ограничена сверху отрезком оси абсцисс, а снизу на промежутке  левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка графиком y=F левая круглая скобка x правая круглая скобка , на промежутке  левая квадратная скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ;3 правая квадратная скобка графиком y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка . Тогда

S= принадлежит t\limits_0 в степени левая круглая скобка 3/2 правая круглая скобка левая круглая скобка 0 минус левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби x в кубе минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате правая круглая скобка правая круглая скобка dx плюс принадлежит t\limits_3/2 в кубе левая круглая скобка 0 минус левая круглая скобка x в квадрате минус 3x правая круглая скобка правая круглая скобка dx= принадлежит t\limits_0 в степени левая круглая скобка 3/2 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби x в кубе правая круглая скобка dx плюс принадлежит t\limits_3/2 в кубе левая круглая скобка 3x минус x в квадрате правая круглая скобка dx=
= левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби x в кубе минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби x в степени 4 правая круглая скобка |_0 в степени левая круглая скобка 3/2 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 3 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби x в кубе правая круглая скобка |_3/2 в кубе = левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x в кубе минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби x в степени 4 правая круглая скобка |_0 в степени левая круглая скобка 3/2 правая круглая скобка плюс  левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби x в кубе правая круглая скобка |_3/2 в кубе =
= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 27, знаменатель: 8 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби умножить на дробь: числитель: 81, знаменатель: 16 конец дроби минус 0 плюс 0 плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 9 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 27 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: 27, знаменатель: 8 конец дроби = дробь: числитель: 27, знаменатель: 16 конец дроби минус дробь: числитель: 27, знаменатель: 64 конец дроби плюс дробь: числитель: 27}2 минус 9 минус дробь: числитель: 27, знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: {, знаменатель: 9 конец дроби , знаменатель: 8 конец дроби =
= целая часть: 1, дробная часть: числитель: 11, знаменатель: 16 минус дробь: числитель: 27, знаменатель: 64 конец дроби плюс целая часть: 13, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 2 минус 9 минус дробь: числитель: 18, знаменатель: 8 конец дроби = целая часть: 1, дробная часть: числитель: 44, знаменатель: 64 минус дробь: числитель: 27, знаменатель: 64 конец дроби плюс целая часть: 4, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 2 минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби = целая часть: 1, дробная часть: числитель: 17, знаменатель: 64 плюс целая часть: 4, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 2 минус целая часть: 2, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 4 = целая часть: 1, дробная часть: числитель: 17, знаменатель: 64 плюс целая часть: 2, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 4 = целая часть: 3, дробная часть: числитель: 33, знаменатель: 64 .

Ответ: а) F левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: x в кубе , знаменатель: 3 конец дроби минус дробь: числитель: 3x в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби ; б) см. рис.; в) y=0; г)  дробь: числитель: 225, знаменатель: 64 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 1915

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, Санкт-Петербург, 1995 год, вариант 1
? Классификатор: Интеграл, вычисление площадей , Касательная к графику функции, Построение графиков функций, графиков уравнений
?
Сложность: 5 из 10