Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1920
i

3.Б. Дана функ­ция f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =x в кубе минус 6x в квад­ра­те плюс 12x.

а)  На­пи­ши­те урав­не­ние пря­мой l, ка­са­ю­щей­ся гра­фи­ка функ­ции y=f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка в его точке с абс­цис­сой x_0=2.

б)  По­строй­те гра­фик функ­ции y=f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка и пря­мую l.

в)  Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной гра­фи­ком функ­ции y=f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка , пря­мой l и осью Oy.

г)  Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a такие, что урав­не­ние дробь: чис­ли­тель: f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: x конец дроби =a имеет ровно два раз­лич­ных корня.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Урав­не­ние ка­са­тель­ной y=f левая круг­лая скоб­ка x_0 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс f' левая круг­лая скоб­ка x_0 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус x_0 пра­вая круг­лая скоб­ка ; f левая круг­лая скоб­ка x_0 пра­вая круг­лая скоб­ка =8 минус 24 плюс 24=8; f' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =3x в квад­ра­те минус 12 плюс 12; f' левая круг­лая скоб­ка x_0 пра­вая круг­лая скоб­ка =3 умно­жить на 2 в квад­ра­те минус 12 умно­жить на 2 плюс 12=0; y=8 плюс 0 левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка ; y=8.

б)  Функ­ция y=x в кубе минус 6x плюс 12x:

1)  ООФ: левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

2)  Про­из­вод­ная f' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =3x в квад­ра­те минус 12x плюс 12=3 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 4x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка . Тогда f' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =0 при x в квад­ра­те минус 4x плюс 4=0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =0 рав­но­силь­но x=2.

Функ­ция воз­рас­та­ет на всей об­ла­сти опре­де­ле­ния.

3)  Зна­че­ния функ­ции в не­ко­то­рых точ­ках: f левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =8, f левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка =0, f левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =19, f левая круг­лая скоб­ка 3 пра­вая круг­лая скоб­ка =9. См. рис.

в)  пре­де­лы ин­те­гри­ро­ва­ния: y=8, y=x в кубе минус 6x в квад­ра­те плюс 12x. Решим x в кубе минус 6x в квад­ра­те плюс 12x=8 рав­но­силь­но x в кубе минус 6x в квад­ра­те плюс 12x минус 8=0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе =0 рав­но­силь­но x=2.

Итак, по­лу­ча­ем:

S= при­над­ле­жит t пре­де­лы: от 0 до 2, 8dx минус при­над­ле­жит t пре­де­лы: от 0 до 2, левая круг­лая скоб­ка x в кубе минус 6x в квад­ра­те плюс 12x пра­вая круг­лая скоб­ка dx=8x| пре­де­лы: от 0 до 2, минус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x в сте­пе­ни 4 , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 6x в кубе , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 12x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка |\limiits_0 в квад­ра­те =
=16 минус 0 минус левая круг­лая скоб­ка 4 минус 16 плюс 24 минус 0 пра­вая круг­лая скоб­ка =32 минус 28=4.

г)  ООВ: x не равно 0.

Имеем x в кубе минус 6x в квад­ра­те плюс 12x=ax рав­но­силь­но x левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 6x плюс 12 минус a пра­вая круг­лая скоб­ка =0.

1)  Ва­ри­ант x=0 — не удо­вле­тво­ря­ет ООВ.

2)  Если D боль­ше 0, то урав­не­ние имеет два раз­лич­ных корня. Для урав­не­ния x в квад­ра­те минус 6x плюс 12 минус a=0, D=36 минус 4 левая круг­лая скоб­ка 12 минус a пра­вая круг­лая скоб­ка =36 минус 48 плюс 4a=4a минус 12. Оче­вид­но, что 4a минус 12 боль­ше 0 при a боль­ше 3.

Если x=0, то a=12, сле­до­ва­тель­но, a не равно 12.

 

Ответ: а) y=8, б) см. рис., в) 4 левая круг­лая скоб­ка ед в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка , г) левая круг­лая скоб­ка 3; 12 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 12; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 1925

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, Санкт-Пе­тер­бург, 1996 год, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ин­те­грал, вы­чис­ле­ние пло­ща­дей , Ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции, По­стро­е­ние гра­фи­ков функ­ций, гра­фи­ков урав­не­ний, Урав­не­ния с па­ра­мет­ром
?
Сложность: 5 из 10
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025