Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1920

3.Б. Дана функция f левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в кубе минус 6x в квадрате плюс 12x.

а) Напишите уравнение прямой l, касающейся графика функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка в его точке с абсциссой x_0=2.

б) Постройте график функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка и прямую l.

в) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка , прямой l и осью Oy.

г) Найдите все значения параметра a такие, что уравнение  дробь: числитель: f левая круглая скобка x правая круглая скобка , знаменатель: x конец дроби =a имеет ровно два различных корня.

Спрятать решение

Решение.

а) Уравнение касательной y=f левая круглая скобка x_0 правая круглая скобка плюс f' левая круглая скобка x_0 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус x_0 правая круглая скобка ; f левая круглая скобка x_0 правая круглая скобка =8 минус 24 плюс 24=8; f' левая круглая скобка x правая круглая скобка =3x в квадрате минус 12 плюс 12; f' левая круглая скобка x_0 правая круглая скобка =3 умножить на 2 в квадрате минус 12 умножить на 2 плюс 12=0; y=8 плюс 0 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка ; y=8.

б) Функция y=x в кубе минус 6x плюс 12x:

1) ООФ:  левая круглая скобка минус бесконечность ; плюс бесконечность правая круглая скобка .

2) Производная f' левая круглая скобка x правая круглая скобка =3x в квадрате минус 12x плюс 12=3 левая круглая скобка x в квадрате минус 4x плюс 4 правая круглая скобка . Тогда f' левая круглая скобка x правая круглая скобка =0 при x в квадрате минус 4x плюс 4=0 равносильно левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно x=2.

Функция возрастает на всей области определения.

3) Значения функции в некоторых точках: f левая круглая скобка 2 правая круглая скобка =8, f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =0, f левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =19, f левая круглая скобка 3 правая круглая скобка =9. См. рис.

в) пределы интегрирования: y=8, y=x в кубе минус 6x в квадрате плюс 12x. Решим x в кубе минус 6x в квадрате плюс 12x=8 равносильно x в кубе минус 6x в квадрате плюс 12x минус 8=0 равносильно левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в кубе =0 равносильно x=2.

Итак, получаем:

S= принадлежит t от 0 до 2 8dx минус принадлежит t от 0 до 2 левая круглая скобка x в кубе минус 6x в квадрате плюс 12x правая круглая скобка dx=8x| от 0 до 2 минус левая круглая скобка дробь: числитель: x в степени 4 , знаменатель: 4 конец дроби минус дробь: числитель: 6x в кубе , знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 12x в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка |\limiits_0 в квадрате =16 минус 0 минус левая круглая скобка 4 минус 16 плюс 24 минус 0 правая круглая скобка =32 минус 28=4.

г) ООВ: x не равно 0.

Имеем x в кубе минус 6x в квадрате плюс 12x=ax равносильно x левая круглая скобка x в квадрате минус 6x плюс 12 минус a правая круглая скобка =0.

1) Вариант x=0 — не удовлетворяет ООВ.

2) Если D больше 0, то уравнение имеет два различных корня. Для уравнения x в квадрате минус 6x плюс 12 минус a=0, D=36 минус 4 левая круглая скобка 12 минус a правая круглая скобка =36 минус 48 плюс 4a=4a минус 12. Очевидно, что 4a минус 12 больше 0 при a больше 3.

Если x=0, то a=12, следовательно, a не равно 12.

 

Ответ: а) y=8, б) см. рис., в) 4  левая круглая скобка ед в квадрате правая круглая скобка , г)  левая круглая скобка 3; 12 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 12; плюс бесконечность правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 1925

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, Санкт-Петербург, 1996 год, вариант 1
? Классификатор: Интеграл, вычисление площадей , Касательная к графику функции, Построение графиков функций, графиков уравнений, Уравнения с параметром
?
Сложность: 5 из 10