Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1915

3.Б. Дана функция f(x)=x в квадрате плюс 3x.

а) Найдите первообразную y=F(x) функции y=f(x), график которой проходит через точку с координатами ( минус 6; минус 18).

б) Постройте график найденной первообразной.

в) Найдите уравнение касательной к графику найденной первообразной y=F(x) в его точке с абсциссой x_0=0.

г) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций y= минус f(x), y=F(x) и отрезком [ минус 3;0] оси абсцисс.

Спрятать решение

Решение.

а) Любая первообразная данной функции имеет вид

 дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби x в кубе плюс 3 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате плюс C= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби x в кубе плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате плюс C.

При этом после подстановки x= минус 6 должно получаться −18, то есть  дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на ( минус 216) плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 36 плюс C= минус 18, или же  минус 72 плюс 54 плюс C= минус 18, откуда C=0.

б) Функция F(x) — кубический многочлен. Она определена везде и принимает все значения. Записав ее в виде x в квадрате ( дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби x плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби )= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби x в квадрате (x плюс дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби поймем, что ее корни x=0 и x= минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби . У нее нет асимптот. Ее производная F'(x)=f(x)=x в квадрате плюс 3x=x(x плюс 3) положительна при x меньше минус 3 и при x больше 0 и отрицательна при x принадлежит ( минус 3;0), поэтому cама функция возрастает при x меньше или равно минус 3 и при x больше или равно 0 и убывает при x принадлежит [ минус 3;0]. Следовательно, x= минус 3 — ее точка максимума, а x=0 — ее точка минимума, f(0)=0, f( минус 3)= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на ( минус 27) плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 9= минус 9 плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 9= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 9=4,5.

Ее вторая производная F''(x)=f'(x)=(x в квадрате плюс 3x)'=2x плюс 3 положительна при x больше минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби и отрицательна при x меньше минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби , поэтому функция выпукла вверх при x меньше минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби и выпукла вниз при x больше минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби . Точка x= минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби  — ее точка перегиба,

f( минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби )= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на ( минус дробь: числитель: 27, знаменатель: 8 конец дроби ) плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби = минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: 27, знаменатель: 8 конец дроби = дробь: числитель: 18, знаменатель: 8 конец дроби = дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби .

Осталось построить график.

в) Поскольку F(0)=0 и F'(0)=f(0)=0, уравнение касательной имеет вид y=0(x минус 0) плюс 0, то есть y=0. Касательной является ось абсцисс.

г) Сразу отметим, что f(0)=f( минус 3)=0, и что f(x) меньше 0 (и, значит,  минус f(x) больше 0) при x принадлежит ( минус 3;0), а также F(x) меньше 0 при x принадлежит ( минус 4,5;0) (все это следует из пункта б). Решим сначала уравнение F(x)= минус f(x):

 дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби x в кубе плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате = минус (x в квадрате плюс 3x) равносильно 2x в кубе плюс 9x в квадрате = минус 6x в квадрате минус 18x равносильно
 равносильно 2x в кубе плюс 15x в квадрате плюс 18x=0 равносильно x(2x в квадрате плюс 15x плюс 18)=0 равносильно x(x плюс 6)(2x плюс 3)=0,

тогда x=0, x= минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби и x= минус 6. Последнее нас не интересует, оно не лежит на указанном отрезке. Возьмем любое x принадлежит ( минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ;0), например x= минус 1. Тогда F( минус 1)= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 7, знаменатель: 6 конец дроби меньше 2= минус f( минус 1), значит, на этом участке график F(x) идет ниже графика  минус f(x). Возьмем любое x принадлежит ( минус 3; минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ), например x= минус 2. Тогда F( минус 2)= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 8 плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 4= минус дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби плюс 6= дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби больше 2= минус f(2), значит, на этом участке график F(x) идет выше графика  минус f(x). Итак, область ограничена сверху отрезком оси абсцисс, а снизу на промежутке [ минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ;0] графиком y=F(x), на промежутке [ минус 3; минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ] графиком y= минус f(x). Тогда

S= принадлежит t\limits_ минус 3/2 в степени 0 ( дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби x в кубе плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате )dx плюс принадлежит t\limits_ минус 3 в степени ( минус 3/2) минус (x в квадрате плюс 3x)dx= принадлежит t\limits_ минус 3/2 в степени 0 ( дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби x в кубе )dx плюс принадлежит t\limits_ минус 3 в степени ( минус 3/2) минус (3x плюс x в квадрате )dx=
= \left. левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби x в кубе плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби x в степени 4 правая круглая скобка |_ минус 3/2 в степени 0 минус \left. левая круглая скобка 3 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби x в кубе правая круглая скобка |_ минус 3 в степени ( минус 3/2) = \left. левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x в кубе плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби x в степени 4 правая круглая скобка |_ минус 3/2 в степени 0 минус  \left. левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби x в кубе правая круглая скобка |_ минус 3 в степени ( минус 3/2) =
= 0 плюс 0 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на ( минус дробь: числитель: 27, знаменатель: 8 конец дроби ) минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби умножить на дробь: числитель: 81, знаменатель: 16 конец дроби минус ( дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на ( минус дробь: числитель: 27, знаменатель: 8 конец дроби ) минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 9 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на ( минус 27))=
= дробь: числитель: 27, знаменатель: 16 конец дроби минус дробь: числитель: 27, знаменатель: 64 конец дроби минус ( дробь: числитель: 27, знаменатель: 8 конец дроби минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 8 конец дроби минус дробь: числитель: 27, знаменатель: 2 конец дроби плюс 9)= целая часть: 1, дробная часть: числитель: 11, знаменатель: 16 минус дробь: числитель: 27, знаменатель: 64 конец дроби минус дробь: числитель: 18, знаменатель: 8 конец дроби плюс целая часть: 13, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 2 минус 9=
= целая часть: 1, дробная часть: числитель: 44, знаменатель: 64 минус дробь: числитель: 27, знаменатель: 64 конец дроби минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби плюс целая часть: 4, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 2 = целая часть: 1, дробная часть: числитель: 17, знаменатель: 64 минус целая часть: 2, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 4 плюс целая часть: 4, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 2 = целая часть: 1, дробная часть: числитель: 17, знаменатель: 64 плюс целая часть: 2, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 4 = целая часть: 3, дробная часть: числитель: 33, знаменатель: 64 .

 

Ответ: а) F(x)= дробь: числитель: x в кубе , знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 3x в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби ; б) см. рис.; в) y=0; г)  дробь: числитель: 225, знаменатель: 64 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 1910

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, Санкт-Петербург, 1995 год, вариант 2
? Классификатор: Интеграл, вычисление площадей , Касательная к графику функции, Построение графиков функций, графиков уравнений
?
Сложность: 5 из 10