3.Б. Дана функция
а) Постройте график функции f.
б) Найдите первообразную для функции f, график которой проходит через точку с координатами
в) Напишите уравнение касательной l к графику функции f в точке графика с абсциссой
г) Найдите площадь фигуры, расположенной в первой координатной четверти и ограниченной графиком функции f, касательной l и осью ординат.
а) Функция определена при всех значениях x. Ее производная равна
поэтому производная положительна (а функция возрастает) при
и отрицательна (а функция убывает) при
и при
поэтому
—
—
Найдем корни функции
Кроме того, и
Это позволяет построить график (см. рис.).
б) Любая первообразная для имеет вид
Учитывая условие про координаты точки, получаем
то есть
и окончательно
в) Поскольку и
уравнение касательной имеет вид
или
то есть касательная горизонтальна.
г) Область ограничена сверху касательной, а снизу графиком функции, поэтому площадь равна
Ответ: а) см. рисунок; б) в)
г) 4.
Задание парного варианта: 1890

