Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1895
i

3.Б. Дана функ­ция f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =3x в квад­ра­те минус x в кубе .

а)  По­строй­те гра­фик функ­ции f.

б)  Най­ди­те пер­во­об­раз­ную для функ­ции f, гра­фик ко­то­рой про­хо­дит через точку с ко­ор­ди­на­та­ми  левая круг­лая скоб­ка минус 1;0 пра­вая круг­лая скоб­ка .

в)  На­пи­ши­те урав­не­ние ка­са­тель­ной l к гра­фи­ку функ­ции f в точке гра­фи­ка с абс­цис­сой x_0=2.

г)  Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, рас­по­ло­жен­ной в пер­вой ко­ор­ди­нат­ной чет­вер­ти и огра­ни­чен­ной гра­фи­ком функ­ции f, ка­са­тель­ной l и осью ор­ди­нат.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Функ­ция опре­де­ле­на при всех зна­че­ни­ях x. Ее про­из­вод­ная равна 6x минус 3x в квад­ра­те = минус 3x левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка , по­это­му про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на (а функ­ция воз­рас­та­ет) при x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0;2 пра­вая круг­лая скоб­ка и от­ри­ца­тель­на (а функ­ция убы­ва­ет) при x мень­ше 0 и при x боль­ше 2, по­это­му x=0  — точка ми­ни­му­ма, а x=2  — точка мак­си­му­ма. При этом f левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка =0, f левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =4. Най­дем корни функ­ции

3x в квад­ра­те минус x в кубе =0 рав­но­силь­но x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 3 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка =0 со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x=0,x=3. конец со­во­куп­но­сти .

Кроме того, \lim\limits_xarrow плюс бес­ко­неч­ность f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = минус бес­ко­неч­ность и \lim\limits_xarrow минус бес­ко­неч­ность f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = плюс бес­ко­неч­ность . Это поз­во­ля­ет по­стро­ить гра­фик (см. рис.).

б)  Любая пер­во­об­раз­ная для f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка имеет вид x в кубе минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби x в сте­пе­ни 4 плюс C. Учи­ты­вая усло­вие про ко­ор­ди­на­ты точки, по­лу­ча­ем  минус 1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс C=0, то есть C= целая часть: 1, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 и окон­ча­тель­но

F левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =x в кубе минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби x в сте­пе­ни 4 плюс целая часть: 1, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 .

в)  По­сколь­ку f' левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 и f левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =4, урав­не­ние ка­са­тель­ной имеет вид y=0 левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 4 или y=4, то есть ка­са­тель­ная го­ри­зон­таль­на.

г)  Об­ласть огра­ни­че­на свер­ху ка­са­тель­ной, а снизу гра­фи­ком функ­ции, по­это­му пло­щадь равна

 при­над­ле­жит t пре­де­лы: от 0 до 2, левая круг­лая скоб­ка 4 минус 3x в квад­ра­те плюс x в кубе пра­вая круг­лая скоб­ка dx=\dvpod4x минус x в кубе плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби x в сте­пе­ни 4 02=8 минус 8 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби умно­жить на 16 минус 0=4.

 

Ответ: а) см. ри­су­нок; б) x в кубе минус дробь: чис­ли­тель: x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; в) y=4; г) 4.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 1890

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, Санкт-Пе­тер­бург, 1993 год, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ин­те­грал, вы­чис­ле­ние пло­ща­дей , Ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции, По­стро­е­ние гра­фи­ков функ­ций, гра­фи­ков урав­не­ний
?
Сложность: 5 из 10