PDF-версии: 
3.А. Дана функция 
а) Найдите область определения функции f.
б) Решите уравнение 
в) Найдите наибольшее значение функции f на отрезке 
г) Выясните, при каких значениях параметра a уравнение 
имеет ровно одно решение.
Решение. а) Для того, чтобы функция была определена, нужно чтобы 
было неотрицательно, то есть 
отсюда 
б) Запишем уравнение в виде 
и возведем в квадрат
Увидим, что второй корень является посторонним, т. к. 
тогда уравнение имеет один корень 
в) Очевидно 
Значение 5 принимается при 
г) Заметим, что если x корень уравнения 
то 
тоже его корень. Поэтому единственный корень может быть только если он равен нулю. Тогда 
откуда 
Убедимся, что при таком a корень действительно единственный
Ответ: а) 
б) 
в) 5; г)
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) в) 5; г) б) в) 5; г) 
и 
и 
Возведем в квадрат при условии 
то есть 
тогда
либо 
(не удовлетворяет условию 
).
корней не имеет. При неотрицательных же можно возвести в квадрат
Дискриминант 
всегда. Итак, 
б) 
в) 
г) 
является корнем уравнения 
Решите уравнение 
и 
Получим
и преобразуем его, отметив сразу, что 
и 
т. е. 
получим:
то есть 
Тогда:
(посторонний корень, не удовлетворяет условию 
которое написано выше).
то и 
то есть 
и 
Для того, чтобы эти условия задавали отрезок, необходимо и достаточно чтобы 
то есть 
б) 
в) 
г) 
и 
Также 
Значит, 
поэтому 
Получаем: 
и 
б) 
в) {3}, г) 
и 
и 
определена при условии 
и 
то есть 
и возведем в квадрат при условии 
или 
)
а 
Сравним эти числа:
то и 
Решим его. При 
оно не определено. 
оно обращается в равенство. При 
числитель левой части положителен, а знаменатель отрицателен, оно не выполнено. При 
оно не определено. При 
числитель левой части положителен как и знаменатель, оно выполнено.
б) 
в) 
г) 
при 
и 
при 
откуда 
б) 
г) 
и 
то 
и возведем в квадрат при условии 
либо 
(не годится, условие 
Если 
то неравенство превращается в 
что верно. Значит, такие x точно войдут в ответ. Если же 
или 
(рассматривать 
бессмысленно, так как для них не определена функция), то 
и на него можно сократить, получим 
б) 
в) 
г) 
и преобразуем его:
и преобразуем его
и 
Решим систему
б) 
в) 
г) 