Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1909

Дана функция f левая круглая скобка x правая круглая скобка = корень из 2x плюс a минус корень из 2 минус x.

а) Найдите все значения параметра a такие, что число x_0=1 является корнем уравнения f левая круглая скобка x правая круглая скобка =2.

б) Пусть a=7. Решите уравнение f левая круглая скобка x правая круглая скобка =2.

в) Пусть a=7. Сравните числа |f левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка | и |f левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка |.

г) Найдите все значения параметра a такие, что областью определения функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка является отрезок.

Спрятать решение

Решение.

а) Подставим x=1 в уравнение  корень из 2x плюс a минус корень из 2 минус x=2. Получим

 корень из 2 плюс a минус корень из 2 минус 1=2 равносильно корень из 2 плюс a минус 1=2 равносильно корень из 2 плюс a=3 равносильно 2 плюс a=9 равносильно a=7

б) Запишем уравнение в виде  корень из 2x плюс 7 минус корень из 2 минус x=2 и преобразуем его, отметив сразу, что 2 минус x больше или равно 0 и 2x плюс 7 больше или равно 0, т. е.  минус 3,5 меньше или равно x меньше или равно 2, получим:

 корень из 2x плюс 7= корень из 2 минус x плюс 2 равносильно 2x плюс 7=2 минус x плюс 4 корень из 2 минус x плюс 4 равносильно 3x плюс 1=4 корень из 2 минус x

Возведем в квадрат, запомнив что 3x плюс 1 больше или равно 0, то есть x больше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби . Тогда:

9x в квадрате плюс 6x плюс 1=16 левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка равносильно 9x в квадрате плюс 6x плюс 1=32 минус 16x равносильно 9x в квадрате плюс 22x минус 31=0.

Одним из корней бует x = 1 (см. пункт a), а другой —  9x плюс 31=0 равносильно x= минус дробь: числитель: 31, знаменатель: 9 конец дроби (посторонний корень, не удовлетворяет условию x больше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби , которое написано выше).

в) Сравним числа

\absf левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка меньше больше \absf левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка равносильно \abs корень из 3 минус корень из 4 меньше больше \abs корень из 5 минус корень из 3 равносильно корень из 4 минус корень из 3 меньше больше корень из 5 минус корень из 3 равносильно корень из 4 меньше больше корень из 5

Поскольку  корень из 5 больше корень из 4, то и \absf левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка больше \absf левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка .

г) Область определения данной функции задается условиями 2 минус x больше или равно 0 и 2x плюс a больше или равно 0, то есть x меньше или равно 2 и x больше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби a. Для того, чтобы эти условия задавали отрезок, необходимо и достаточно чтобы  минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби a меньше 2, то есть  минус a меньше 4, a больше минус 4.

 

Ответ: а) a=7; б)  левая фигурная скобка 1 правая фигурная скобка ; в) |f левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка | больше |f левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка |; г) a больше минус 4.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 1914

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, Санкт-Петербург, 1995 год, вариант 1
? Классификатор: Вычисления и преобразования (кроме тригонометрии), Иррациональные уравнения и их системы, Исследование функций, Сравнение чисел, Функции, зависящие от параметра
?
Сложность: 5 из 10