Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1968

2. Дана функция f(x)= корень из (21 плюс 4x минус x) в квадрате .

а) Найдите область определения данной функции.

б) Решите уравнение f(x)=1 минус 3x.

в) Сравните числа f(3) плюс f(5) и 2f(4).

г) Найдите все числа x такие, что выполняется равенство f(x минус 1)=f(5 минус x).

Спрятать решение

Решение.

а) Чтобы функция была определена, необходимо и достаточно, чтобы подкоренное выражение было положительно. То есть

21 плюс 4x минус x в квадрате больше или равно 0 равносильно x в квадрате минус 4x минус 21 меньше или равно 0 равносильно (x плюс 3)(x минус 7) меньше или равно 0 равносильно минус 3 меньше x меньше 7.

б) Запишем уравнение в виде  корень из (21 плюс 4x минус x в квадрате ) =1 минус 3x и преобразуем его:

21 плюс 4x минус x в квадрате =1 минус 6x плюс 9x в квадрате равносильно 10x в квадрате минус 10x минус 20=0 равносильно x в квадрате минус x минус 2=0 равносильно (x плюс 1)(x минус 2)=0 равносильно совокупность выражений x= минус 1,x=2. конец совокупности .

Но корень x=2 посторонний, поскольку 1 минус 3x меньше 0.

в) Отдельно посчитаем каждое из данных чисел

f(3) плюс f(5)= корень из (21 плюс 12 минус 9) плюс корень из (21 плюс 20 минус 25) = корень из (24) плюс корень из (16) = корень из (24) плюс 4,

2f(4)=2 корень из (21 плюс 16 минус 16) 2 корень из (21) .

Сравним теперь эти числа:

4 плюс корень из (24) меньше больше 2 корень из (21) равносильно 4 плюс 2 корень из (6) меньше больше 2 корень из (21) равносильно 2 плюс корень из (6) меньше больше корень из (21) равносильно

 равносильно 4 плюс 6 плюс 4 корень из (6) меньше больше 21 равносильно 4 корень из (6) меньше больше 11 равносильно 16 умножить на 6 меньше больше 11 в квадрате равносильно 96 меньше больше 121.

Поскольку 96 < 121, получаем что f(3) плюс f(5) меньше 2f(4).

г) Запишем уравнение в виде  корень из (21 плюс 4(x минус 1) минус (x минус 1) в квадрате ) = корень из (21 плюс 4(5 минус x) минус (5 минус x) в квадрате ) и преобразуем его

 корень из (21 плюс 4x минус 4 минус x в квадрате плюс 2x минус 1) = корень из (21 плюс 20 минус 4x минус 25 плюс 10x минус x в квадрате ) равносильно
 равносильно 21 плюс 4x минус 4 минус x в квадрате плюс 2x минус 1=21 плюс 20 минус 4x минус 25 плюс 10x минус x в квадрате равносильно 6x плюс 16=16 плюс 6x.

Это выполнено всегда. Значит, нужно только, чтобы функция была определена для x минус 1 и 5 минус x. Решим систему

 система выражений минус 3 меньше или равно x минус 1 меньше или равно 7, минус 3 меньше или равно 5 минус x меньше или равно 8 конец системы . равносильно минус 2 меньше или равно x меньше или равно 8.

 

Ответ: а) [ минус 3;7]; б) \ минус 1\; в) f(3) плюс f(5) меньше 2f(4); г) [2;8].

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 1973

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, Санкт-Петербург, 2001 год, вариант 1
? Классификатор: Иррациональные неравенства, Иррациональные уравнения и их системы
?
Сложность: 5 из 10