Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1968
i

2.  Дана функ­ция f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 плюс 4x минус x конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те .

а)  Най­ди­те об­ласть опре­де­ле­ния дан­ной функ­ции.

б)  Ре­ши­те урав­не­ние f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =1 минус 3x.

в)  Срав­ни­те числа f левая круг­лая скоб­ка 3 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс f левая круг­лая скоб­ка 5 пра­вая круг­лая скоб­ка и 2f левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка .

г)  Най­ди­те все числа x такие, что вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство f левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =f левая круг­лая скоб­ка 5 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Чтобы функ­ция была опре­де­ле­на, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы под­ко­рен­ное вы­ра­же­ние было по­ло­жи­тель­но. То есть

21 плюс 4x минус x в квад­ра­те боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус 4x минус 21 мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 7 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но минус 3 мень­ше x мень­ше 7.

б)  За­пи­шем урав­не­ние в виде  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 плюс 4x минус x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =1 минус 3x и пре­об­ра­зу­ем его:

21 плюс 4x минус x в квад­ра­те =1 минус 6x плюс 9x в квад­ра­те рав­но­силь­но 10x в квад­ра­те минус 10x минус 20=0 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус x минус 2=0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= минус 1,x=2. конец со­во­куп­но­сти .

Но ко­рень x=2 по­сто­рон­ний, по­сколь­ку 1 минус 3x мень­ше 0.

в)  От­дель­но по­счи­та­ем каж­дое из дан­ных чисел

f левая круг­лая скоб­ка 3 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс f левая круг­лая скоб­ка 5 пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 плюс 12 минус 9 конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 плюс 20 минус 25 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 24 конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 16 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 24 конец ар­гу­мен­та плюс 4,

2f левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка =2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 плюс 16 минус 16 конец ар­гу­мен­та 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та .

Срав­ним те­перь эти числа:

4 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 24 конец ар­гу­мен­та мень­ше боль­ше 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но 4 плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та мень­ше боль­ше 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та мень­ше боль­ше ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но 4 плюс 6 плюс 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та мень­ше боль­ше 21 рав­но­силь­но 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та мень­ше боль­ше 11 рав­но­силь­но 16 умно­жить на 6 мень­ше боль­ше 11 в квад­ра­те рав­но­силь­но 96 мень­ше боль­ше 121.

По­сколь­ку 96 < 121, по­лу­ча­ем что f левая круг­лая скоб­ка 3 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс f левая круг­лая скоб­ка 5 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 2f левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка .

г)  За­пи­шем урав­не­ние в виде  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 плюс 4 левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 плюс 4 левая круг­лая скоб­ка 5 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка 5 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та и пре­об­ра­зу­ем его

 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 плюс 4x минус 4 минус x в квад­ра­те плюс 2x минус 1 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 плюс 20 минус 4x минус 25 плюс 10x минус x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но 21 плюс 4x минус 4 минус x в квад­ра­те плюс 2x минус 1=21 плюс 20 минус 4x минус 25 плюс 10x минус x в квад­ра­те рав­но­силь­но 6x плюс 16=16 плюс 6x.

Это вы­пол­не­но все­гда. Зна­чит, нужно толь­ко, чтобы функ­ция была опре­де­ле­на для x минус 1 и 5 минус x. Решим си­сте­му

 си­сте­ма вы­ра­же­ний минус 3 мень­ше или равно x минус 1 мень­ше или равно 7, минус 3 мень­ше или равно 5 минус x мень­ше или равно 8 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но минус 2 мень­ше или равно x мень­ше или равно 8.

 

Ответ: а)  левая квад­рат­ная скоб­ка минус 3;7 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка ; б)  левая фи­гур­ная скоб­ка минус 1 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; в) f левая круг­лая скоб­ка 3 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс f левая круг­лая скоб­ка 5 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 2f левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка ; г)  левая квад­рат­ная скоб­ка 2;8 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 1973

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, Санкт-Пе­тер­бург, 2001 год, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ир­ра­ци­о­наль­ные не­ра­вен­ства, Ир­ра­ци­о­наль­ные урав­не­ния и их си­сте­мы
?
Сложность: 5 из 10