РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 1889

3.А. Дана функция $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 25 минус x конец аргумента в квадрате .$

а)  Найдите область определения функции f.

б)  Решите уравнение $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =x плюс 1.$

в)  Найдите наибольшее значение функции f на отрезке $левая квадратная скобка минус 1;5 правая квадратная скобка .$

г)  Выясните, при каких значениях параметра a уравнение $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a$ имеет ровно одно решение.

Спрятать решение

Решение.

а)  Для того, чтобы функция была определена, нужно чтобы $25 минус x в квадрате$ было неотрицательно, то есть $левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 5 плюс x правая круглая скобка больше или равно 0,$ отсюда $x принадлежит левая квадратная скобка минус 5; 5 правая квадратная скобка .$

б)  Запишем уравнение в виде $корень из: начало аргумента: 25 минус x в квадрате конец аргумента =x плюс 1$ и возведем в квадрат

$25 минус x в квадрате =x в квадрате плюс 2x плюс 1$ $равносильно 2x в квадрате плюс 2x минус 24=0$ $равносильно x в квадрате плюс x минус 12=0 равносильно совокупность выражений x=3,x= минус 4. конец совокупности .$

Увидим, что второй корень является посторонним, т. к. $x плюс 1 меньше 0,$ тогда уравнение имеет один корень $x=3.$

в)  Очевидно $корень из: начало аргумента: 25 минус x в квадрате конец аргумента меньше или равно корень из: начало аргумента: 25 конец аргумента =5.$ Значение 5 принимается при $x=0.$

г)  Заметим, что если x корень уравнения $корень из: начало аргумента: 25 минус x в квадрате конец аргумента =a,$ то $минус x$ тоже его корень. Поэтому единственный корень может быть только если он равен нулю. Тогда $корень из: начало аргумента: 25 минус 0 в квадрате конец аргумента =a,$ откуда $a=5.$ Убедимся, что при таком a корень действительно единственный

$корень из: начало аргумента: 25 минус x в квадрате конец аргумента =5 равносильно 25 минус x в квадрате =25$ $равносильно x в квадрате =0$ $равносильно x=0.$

Ответ: а) $левая квадратная скобка минус 5; 5 правая квадратная скобка ;$ б) $левая фигурная скобка 3 правая фигурная скобка ;$ в) 5; г) $a=5.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 1894

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, Санкт-Петербург, 1993 год, вариант 1

? Классификатор: Иррациональные уравнения и их системы, Исследование функций, Функции, зависящие от параметра

Сложность: 5 из 10

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь