Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1900
i

3.Б. Дана функ­ция f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те плюс 8x плюс 7.

а)  Най­ди­те об­ласть опре­де­ле­ния функ­ции y=f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка .

б)  Най­ди­те ко­ор­ди­на­ты точек пе­ре­се­че­ния гра­фи­ков функ­ций y=f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка и y= минус 3x минус 1.

в)  Срав­ни­те числа f левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка и 2f левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

г)  Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, для ко­то­рых урав­не­ние f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =a имеет два раз­лич­ных корня.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Функ­ция опре­де­ле­на, если под­ко­рен­ное вы­ра­же­ние не­от­ри­ца­тель­но, то есть

x в квад­ра­те плюс 8x плюс 7 боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 7 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0,

от­ку­да x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 7 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка минус 1; бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

б)  Решим урав­не­ние  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те плюс 8x плюс 7 конец ар­гу­мен­та = минус 3x минус 1. Воз­ве­дем в квад­рат при усло­вии  минус 3x минус 1 боль­ше или равно 0, то есть x мень­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , тогда

x в квад­ра­те плюс 8x плюс 7=9x в квад­ра­те плюс 6x плюс 1 рав­но­силь­но 8x в квад­ра­те минус 2x минус 6=0 рав­но­силь­но 4x в квад­ра­те минус x минус 3=0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 4x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка =0.

Зна­чит либо x= минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , либо x=1 (не удо­вле­тво­ря­ет усло­вию x мень­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ).

в)  По­счи­та­ем каж­дое вы­ра­же­ние от­дель­но:

f левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 8 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 7 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 4 плюс 7 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: целая часть: 11, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец ар­гу­мен­та ,

2f левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус 8 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 7 конец ар­гу­мен­та =2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус 4 плюс 7 конец ар­гу­мен­та =2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: целая часть: 3, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: целая часть: 3, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 умно­жить на 4 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та боль­ше ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: целая часть: 11, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец ар­гу­мен­та .

Итак, вто­рое число боль­ше.

г)  Ясно что при от­ри­ца­тель­ных a урав­не­ние  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те плюс 8x плюс 7 конец ар­гу­мен­та =a кор­ней не имеет. При не­от­ри­ца­тель­ных же можно воз­ве­сти в квад­рат

x в квад­ра­те плюс 8x плюс 7=a в квад­ра­те рав­но­силь­но x в квад­ра­те плюс 8x плюс левая круг­лая скоб­ка 7 минус a в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка =0

Чтобы у него было два корня, нужно чтобы дис­кри­ми­нант был по­ло­жи­те­лен. Эти корни будут под­хо­дить и в ис­ход­ное урав­не­ние, по­сколь­ку для них x в квад­ра­те плюс 8x плюс 7=a в квад­ра­те боль­ше или равно 0. Дис­кри­ми­нант D=64 минус 4 левая круг­лая скоб­ка 7 минус a в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка =64 минус 28 плюс 4a в квад­ра­те =36 плюс 4a в квад­ра­те боль­ше 0 все­гда. Итак, a боль­ше или равно 0.

 

Ответ: а)  левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 7 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка минус 1; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка ; б)  левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка ; в) f левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 2f левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка ; г) a боль­ше или равно 0.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 1905

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, Санкт-Пе­тер­бург, 1994 год, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Вы­чис­ле­ния и пре­об­ра­зо­ва­ния (кроме три­го­но­мет­рии), Ир­ра­ци­о­наль­ные урав­не­ния и их си­сте­мы, Ис­сле­до­ва­ние функ­ций, Срав­не­ние чисел, Урав­не­ния с па­ра­мет­ром
?
Сложность: 5 из 10