Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1958

2. Дана функция f(x)= корень из (x) в квадрате минус 8x плюс 12.

а) Найдите область определения функции y=f(x).

б) Сравните числа f(0) минус f(1) и f(7).

в) Решите уравнение f(x)=2x минус 4.

г) Решите неравенство (x минус 7)f(x) больше или равно 0.

Спрятать решение

Решение.

а) Область определения этой функции состоит из решений неравенства

x в квадрате минус 8x плюс 12 больше или равно 0 равносильно (x минус 2)(x минус 6) больше или равно 0 равносильно совокупность выражений x меньше или равно 2, x больше или равно 6. конец совокупности .

б) Посчитаем каждое из выражений отдельно:

f(0) минус f(1)= корень из (12) минус корень из (5) ,

f(7)= корень из (49 минус 56 плюс 12) = корень из (5) .

Поскольку  корень из (12) минус корень из (5) меньше 4 минус 2=2 меньше корень из (5) , то f(0) минус f(1) меньше f(7).

в) Запишем уравнение в виде  корень из ((x минус 2)(x минус 6)) =2(x минус 2) и возведем в квадрат при условии x больше или равно 2:

(x минус 2)(x минус 6)=4(x минус 2) в квадрате равносильно (x минус 2)(x минус 6 минус 4(x минус 2))=0 равносильно (x минус 2)(x минус 6 минус 4x плюс 8)=0 равносильно (x минус 2)(2 минус 3x)=0.

Значит, либо x=2, либо x= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби (не годится, условие x больше или равно 2 не выполнено).

г) Запишем неравенство в виде (x минус 7) корень из ((x минус 2)(x минус 6)) больше или равно 0. Если x=2 или x=6, то неравенство превращается в 0 больше или равно 0, что верно. Значит, такие x точно войдут в ответ. Если же x меньше 2 или x больше 6 (рассматривать x принадлежит (2;6) бессмысленно, так как для них не определена функция), то  корень из ((x минус 2)(x минус 6)) больше 0 и на него можно сократить, получим

(x минус 7) больше или равно 0 равносильно x больше или равно 7.

 

Ответ: а) ( минус принадлежит fty; 2]\cup [6; плюс принадлежит fty ), б) f(0) минус f(1) меньше f(7), в) 2, г) \2;6\\cup [7; принадлежит fty).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 1963

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, Санкт-Петербург, 2000 год, вариант 1
? Классификатор: Иррациональные неравенства, Иррациональные уравнения и их системы
?
Сложность: 5 из 10