Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1958
i

2.  Дана функ­ция f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те минус 8x плюс 12.

а)  Най­ди­те об­ласть опре­де­ле­ния функ­ции y=f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка .

б)  Срав­ни­те числа f левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка минус f левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка и f левая круг­лая скоб­ка 7 пра­вая круг­лая скоб­ка .

в)  Ре­ши­те урав­не­ние f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =2x минус 4.

г)  Ре­ши­те не­ра­вен­ство  левая круг­лая скоб­ка x минус 7 пра­вая круг­лая скоб­ка f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Об­ласть опре­де­ле­ния этой функ­ции со­сто­ит из ре­ше­ний не­ра­вен­ства

x в квад­ра­те минус 8x плюс 12 боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x мень­ше или равно 2, x боль­ше или равно 6. конец со­во­куп­но­сти .

б)  По­счи­та­ем каж­дое из вы­ра­же­ний от­дель­но:

f левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка минус f левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 12 конец ар­гу­мен­та минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та ,

f левая круг­лая скоб­ка 7 пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 49 минус 56 плюс 12 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та .

По­сколь­ку  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 12 конец ар­гу­мен­та минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та мень­ше 4 минус 2=2 мень­ше ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , то f левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка минус f левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше f левая круг­лая скоб­ка 7 пра­вая круг­лая скоб­ка .

в)  За­пи­шем урав­не­ние в виде  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та =2 левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка и воз­ве­дем в квад­рат при усло­вии x боль­ше или равно 2:

 левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка =4 левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 6 минус 4 левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 6 минус 4x плюс 8 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2 минус 3x пра­вая круг­лая скоб­ка =0.

Зна­чит, либо x=2, либо x= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби (не го­дит­ся, усло­вие x боль­ше или равно 2 не вы­пол­не­но).

г)  За­пи­шем не­ра­вен­ство в виде  левая круг­лая скоб­ка x минус 7 пра­вая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та боль­ше или равно 0. Если x=2 или x=6, то не­ра­вен­ство пре­вра­ща­ет­ся в 0 боль­ше или равно 0, что верно. Зна­чит, такие x точно вой­дут в ответ. Если же x мень­ше 2 или x боль­ше 6 (рас­смат­ри­вать x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 2;6 пра­вая круг­лая скоб­ка бес­смыс­лен­но, так как для них не опре­де­ле­на функ­ция), то  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та боль­ше 0 и на него можно со­кра­тить, по­лу­чим

 левая круг­лая скоб­ка x минус 7 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но x боль­ше или равно 7.

 

Ответ: а)  левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; 2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 6; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка , б) f левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка минус f левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше f левая круг­лая скоб­ка 7 пра­вая круг­лая скоб­ка , в) 2, г)  левая фи­гур­ная скоб­ка 2;6 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 7; бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 1963

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, Санкт-Пе­тер­бург, 2000 год, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ир­ра­ци­о­наль­ные не­ра­вен­ства, Ир­ра­ци­о­наль­ные урав­не­ния и их си­сте­мы
?
Сложность: 5 из 10