Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

3.А. Дана функ­ция f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 8 минус x конец ар­гу­мен­та минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 2 конец ар­гу­мен­та .

а)  Най­ди­те все ко­ор­ди­на­ты точек пе­ре­се­че­ния гра­фи­ка функ­ции y=f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка с осями ко­ор­ди­нат.

б)  Срав­ни­те числа |f левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка | и |f левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка |.

в)  Ре­ши­те урав­не­ние f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 3 конец ар­гу­мен­та .

г)  Най­ди­те об­ласть опре­де­ле­ния функ­ции g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =f левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  С осью Oy: x=0, y= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 8 конец ар­гу­мен­та минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та =2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

С осью Ox: y=0,  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 8 минус x конец ар­гу­мен­та минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 2 конец ар­гу­мен­та =0.

Имеем:  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 8 минус x конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 2 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 8 минус x=x плюс 2,8 минус x боль­ше или равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 2x=6,x мень­ше или равно 8 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но x=3.

б)  Вы­чис­лим: \left|f левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка |=\left| ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та |= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , т. к.  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та боль­ше ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та . Также \left|f левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка |=\left| ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 конец ар­гу­мен­та минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та |=\left|2 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та |= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та минус 2, т. к.  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та боль­ше 2.

Со­ста­вим раз­ность:  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та плюс 2= левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 конец ар­гу­мен­та минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0. Зна­чит,  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та боль­ше ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та минус 2, по­это­му |f левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка | боль­ше |f левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка |.

в)  ООУ:  си­сте­ма вы­ра­же­ний x плюс 2 боль­ше или равно 0,8 минус x боль­ше или равно 0,x минус 3 боль­ше или равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x боль­ше или равно минус 2,x мень­ше или равно 8,x боль­ше или равно 3 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но 3 мень­ше или равно x мень­ше или равно 8.

Те­перь решим:

 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 8 минус x конец ар­гу­мен­та минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 2 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 3 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 8 минус x конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 2 конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус 3 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но 8 минус x=x минус 3 плюс x плюс 2 плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но 9 минус 3x=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та .

Д.  у.: 9 минус 3x боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но x мень­ше или равно 3. По­лу­ча­ем:

81 минус 54x плюс 9x в квад­ра­те =4x в квад­ра­те минус 4x минус 24 рав­но­силь­но 5x в квад­ра­те минус 50x плюс 105=0 рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус 10x плюс 21=0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x=3,x=7 конец со­во­куп­но­сти . \undersetx мень­ше или равно 3\mathop рав­но­силь­но x=3.

г)   Имеем:

 си­сте­ма вы­ра­же­ний 8 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби боль­ше или равно 0, дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби плюс 2 боль­ше или равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: 8x минус 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби боль­ше или равно 0, дробь: чис­ли­тель: 1 плюс 2x, зна­ме­на­тель: x конец дроби боль­ше или равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби ,x мень­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти .

Ответ: а)  левая круг­лая скоб­ка 0; ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка и  левая круг­лая скоб­ка 3; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка , б) |f левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка | боль­ше |f левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка |, в) {3}, г)  левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби ; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 1924

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, Санкт-Пе­тер­бург, 1996 год, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Вы­чис­ле­ния и пре­об­ра­зо­ва­ния (кроме три­го­но­мет­рии), Ир­ра­ци­о­наль­ные урав­не­ния и их си­сте­мы, Ис­сле­до­ва­ние функ­ций, Срав­не­ние чисел
?
Сложность: 5 из 10