24. Интеграл: площади ограничена касательной
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
Фигура, ограниченная линиями y = −2x + 8, x = −1, y = 0, делится параболой y = x2 − 4x + 5 на две части. Найдите площадь каждой части.
Эта фигура — прямоугольный треугольник с вершинами A(−1; 0), B(−1; 10), C(4; 0), его площадь равна 
Парабола пересекает прямую 
в точках, где
то есть в точке B(−1; 10) и D(3; 2).
Найдем площадь части, ограниченной снизу параболой, а сверху прямой 
Значит, вторая часть имеет площадь 
Ответ: 
и 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
и Задание парного варианта: 2268
Найдите площадь фигуры, ограниченной гиперболой 
касательной к этой кривой, проведённой в точке с абсциссой 
и прямой 
Сначала найдем уравнение касательной. Поскольку
то 
а 
и уравнение касательной имеет вид 
или же 
Она проходит выше графика 
(см. рис.), поэтому искомая площадь равна
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Задание парного варианта: 2459
Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции 
и касательными к нему, проведенными через точку 
Если прямая проходит через точку 
то ее уравнение имеет вид 
Если она при этом касается параболы 
то уравнение 
имеет единственный корень, то есть уравнение 
имеет нулевой дискриминант. Значит, 
откуда 
а абсциссы точек касания будут равны 
Заметим, что и график 
симметричен относительно оси ординат, и касательные 
симметричны друг другу относительно этой же оси. Поэтому вся область симметрична относительно этой оси и можно посчитать только площадь ее части, расположенной справа от оси и удвоить ее. Касательные проходят ниже параболы (ее ветви направлены вверх), поэтому
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Задание парного варианта: 2735
Изобразите на координатной плоскости линию, задаваемую уравнением 
и найдите площадь фигуры, ограниченной этой линией.
Отметим, что, если точка (x; y) лежит на искомой линии, то и точки (−x; y), (x; −y), (−x; −y) лежат на этой линии. Следовательно, оси Ox и Oy являются осями симметрии линии. Поэтому достаточно построить часть линии, лежащую в замкнутом первом квадранте 
и затем симметрично отразить ее относительно двух осей.
Эта часть линии легко строится, а вся линия изображена на рисунке. Фигура, ограниченная найденной линией, на рисунке заштрихована. Из соображений симметрии очевидно, что она составлена из четырех равных криволинейных треугольников, каждый из которых ограничен осями координат и другой соответствующей параболой. Поэтому ее площадь равна 4S1.
тогда 
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Задание парного варианта: 2616
Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции 
и касательными к нему, проходящими через точку 
График данной функции представляет собой части двух парабол:
при 
и 
при 
Найдем касательные отдельно к каждой параболе. Любая прямая, кроме вертикальной, проходящая через точку 
может быть задана уравнением 
причем
Итак, уравнение этой прямой имеет вид
При этом она имеет единственную общую точку с параболой 
То есть уравнение
Абсциссу точки касания, тот самый единственный корень уравнения, можно найти по формуле 
В первом случае 
а во втором 
поэтому прямая касается параболы в той части, где она не представляет график исходной функции. Эта касательная в дальнейшем не нужна.
Найдем касательную к другой половине графика. Она имеет единственную общую точку с параболой 
То есть уравнение
Абсциссу точки касания, тот самый единственный корень уравнения, можно найти по формуле 
В первом случае 
а во втором 
поэтому прямая касается параболы в той части, где она не представляет график исходной функции. Эта касательная в дальнейшем не нужна.
Итак, область ограничена сверху графиком исходной функции, а снизу прямыми
Эти прямые пересекают ось абсцисс в точках соответственно 
и 
Ниже оси, следовательно, расположен треугольник высотой 
и основанием 
поэтому его площадь составляет
Опустим перпендикуляры на ось абсцисс из точек 
и 
К фигуре пристроятся прямоугольные треугольники площадью
Теперь осталось только найти площадь под графиком исходной функции, вычесть добавленную площадь и прибавить площадь нижнего треугольника
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Задание парного варианта: 2808
Пройти тестирование по этим заданиям
Наверх