РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 2616

Изобразите на координатной плоскости линию, задаваемую уравнением $|y|=3 плюс 2|x| минус x в квадрате ,$ и найдите площадь фигуры, ограниченной этой линией.

Спрятать решение

Решение.

Если точка (x; y) лежит на искомой линии, то и точки (−x; y), (x; −y), (−x; −y) тоже лежат на этой линии. Следовательно, оси Ox и Oy являются осями симметрии линии. Таким образом, достаточно построить в первом квадранте $x больше или равно 0,$ $y больше или равно 0$ и затем симметрично отразить эту часть относительно осей координат.

$y = 3 плюс 2x минус x в квадрате \underset x больше или равно 0, y больше или равно 0\mathop равносильно y = левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка .$

Это часть линии  — лежащая в первом квадранте дуга параболы, с вершиной с координатами x₀  =  1 и y₀  =  4, и ветвями, направленными вниз. Она пересекает ось y при y  =  3, а ось x  — при x  =  3.

На рисунке изображена вся линия (указанная в условии фигура заштрихована). Из соображений симметрии ясно, что фигура, ограниченная найденной линией, составлена из четырех равных фигур, каждая из которых ограничена осями координат и другой параболы. Поэтому искомая площадь S равна 4S₁.

$S = интеграл пределы: от 0 до 3, левая круглая скобка 3 плюс 2x минус x в квадрате правая круглая скобка dx = левая круглая скобка 3x плюс x в квадрате минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби x в квадрате правая круглая скобка | пределы: от 0 до 3, = 9;$ $S = 4 умножить на 9 = 36.$

Ответ: 36.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 2610

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1994 год, работа 2, вариант 2

? Классификатор: Интеграл, вычисление площадей , Построение графиков функций, графиков уравнений

Сложность: 7 из 10

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь