Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2610
i

Изоб­ра­зи­те на ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти линию, за­да­ва­е­мую урав­не­ни­ем |y|=x в квад­ра­те минус 4|x| плюс 4, и най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной этой ли­ни­ей.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

От­ме­тим, что, если точка (x; y) лежит на ис­ко­мой линии, то и точки (−x; y), (x; −y), (−x; −y) лежат на этой линии. Сле­до­ва­тель­но, оси Ox и Oy яв­ля­ют­ся осями сим­мет­рии линии. По­это­му до­ста­точ­но по­стро­ить часть линии, ле­жа­щую в за­мкну­том пер­вом квад­ран­те x мень­ше или равно 0, y боль­ше или равно 0 и затем сим­мет­рич­но от­ра­зить ее от­но­си­тель­но двух осей.

y = x в квад­ра­те минус 4x плюс 4 \underset x боль­ше или равно 0, y боль­ше или равно 0\mathop рав­но­силь­но y = левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те .

Эта часть линии легко стро­ит­ся, а вся линия изоб­ра­же­на на ри­сун­ке. Фи­гу­ра, огра­ни­чен­ная най­ден­ной ли­ни­ей, на ри­сун­ке за­штри­хо­ва­на. Из со­об­ра­же­ний сим­мет­рии оче­вид­но, что она со­став­ле­на из че­ты­рех рав­ных кри­во­ли­ней­ных тре­уголь­ни­ков, каж­дый из ко­то­рых огра­ни­чен осями ко­ор­ди­нат и дру­гой со­от­вет­ству­ю­щей па­ра­бо­лой. По­это­му ее пло­щадь равна 4S1.

S_1 = ин­те­грал пре­де­лы: от 0 до 2, левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те dx = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе | пре­де­лы: от 0 до 2, = дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , тогда S = 4S_1 = дробь: чис­ли­тель: 32, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = целая часть: 10, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 .

 

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 32, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2616

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1994 год, ра­бо­та 2, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ин­те­грал, вы­чис­ле­ние пло­ща­дей , По­стро­е­ние гра­фи­ков функ­ций, гра­фи­ков урав­не­ний
?
Сложность: 7 из 10
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025