№ 2808 
Выпускные экзамены по математике для школ России. Углубленная программа. 24. Интеграл: площади ограничена касательной
i
Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции 
и касательными к нему, проходящими через точку 
Решение. 
График данной функции представляет собой части двух парабол: 
при 
и 
при 
Найдем касательные отдельно к каждой параболе. Любая прямая, кроме вертикальной, проходящая через точку 
может быть задана уравнением 
причем
Итак, уравнение этой прямой имеет вид
При этом она имеет единственную общую точку с параболой 
То есть уравнение
имеет единственный корень. То есть уравнение
имеет нулевой дискриминант. Получаем:
Абсциссу точки касания, тот самый единственный корень уравнения, можно найти по формуле 
В первом случае 
а во втором 
поэтому прямая касается параболы в той части, где она не представляет график исходной функции. Эта касательная в дальнейшем не нужна.
Найдем касательную к другой половине графика. Она имеет единственную общую точку с параболой 
То есть уравнение
имеет единственный корень. То есть уравнение
имеет нулевой дискриминант. Получаем:
Абсциссу точки касания, тот самый единственный корень уравнения, можно найти по формуле 
В первом случае 
а во втором 
поэтому прямая касается параболы в той части, где она не представляет график исходной функции. Эта касательная в дальнейшем не нужна.
Итак, область ограничена сверху графиком исходной функции, а снизу прямыми
Эти прямые пересекают ось абсцисс в точках 
и 
соответственно. Ниже оси, следовательно, расположен треугольник высотой 
и основанием 
поэтому его площадь составляет 
Опустим перпендикуляр на ось абсцисс из точки 
От этого треугольника отсечется прямоугольный треугольник площадью 
Теперь осталось только найти площадь над графиком исходной функции и вычесть ее площадь и площадь прямоугольного треугольника из площади большого треугольника.
Ответ: 
Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ: Задание парного варианта: 2802
