2. Тригонометрия
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
2. Дана функция 
а) Выразите y как функцию от 
б) Решите уравнение 
в) Найдите область значений функции y.
г) Сколько корней в зависимости от a имеет уравнение 
на отрезке 
то есть 
получим 
откуда 
или 
Возвращаясь к исходной переменной, получаем:
принимает все значения из 
на 
совпадает со множеством значений квадратичной функции 
убывает при 
и возрастает при 
поэтому ее наименьшее значение достигается при 
оно 
а 
то наибольшее значение равно 5. Тем самым,
относительно t:
или при 
не имеет решений;
имеет единственное решение, лежащее в промежутке 
имеет два решения, лежащих в промежутке 
имеет единственное решение 
относительно х. Функция 
убывает (см. рис.), принимая все значения из отрезка 
по одному разу. Следовательно, уравнение 
относительно х:
или при 
один корень при 
при прочих a нет корней.Задание парного варианта: 1978
Дана функция 
а) Решите уравнение 
б) Найдите наименьшее положительное решение системы 
в) Найдите область значений функции f.
г) Пусть 
—
Найдите наименьшее значение функции g на множестве вещественных чисел.
Очевидно, 
не является корнем 
является его корнем.
и обозначим 
Тогда 
и нам нужно найти множество значений функции 
на этом промежутке. Очевидно наименьшее значение этот квадратный трехчлен принимает при 
получим 
При 
получим 
При 
получим
то есть 
при 
эта функция не принимает положительных значений. В самом деле, 
и 
поэтому 
имеем 
Наконец, 
и 
поэтому 
Задание парного варианта: 2005
Даны функции 
а) Вычислите площадь фигуры, которая ограничена графиками данных функций и прямыми 
и 
б) Пусть 
и 
— точки пересечения прямой 
с графиками функций f и g. При каких m длина отрезка с концами в этих точках равна единице?
в) Существует ли отрезок, концы которого лежат на графике функции f, а середина совпадает с 
г) Изобразите на координатной плоскости множество середин отрезков, концы которых лежат на графике
получим 
поэтому 
то есть график 
проходит выше графика 
Значит,
получим 
поэтому уравнение 
решений не имеет. Все остальные корни лежат на отрезке [−1; 1] и дают корни 
т. е. 
где 
т. е. 
и 
где 
т. е. 
и 
где 
и 
(концы отрезка симметричны относительно его середины). Тогда получим систему двух уравнений с двумя неизвестными
или 
поскольку 
и 
В принципе, можно было попробовать угадать этот ответ. Но в последнем пункте нам понадобятся идеи, придуманные в этом.
является серединой отрезка 
и 
Составим систему уравнений:
Если у этого уравнения есть решение, то подставляя его в первое уравнение системы мы определим y и построим таким образом интересующий нас отрезок.
решения есть только при 
при прочих a получаем 
поэтому для разрешимости уравнения необходимо и достаточно, 
В эту формулу в том числе подходят и ситуации с 
Таким образом, нужно построить графики 
и взять все точки, лежащие между ними (cм. рис.).
Задание парного варианта: 2049
Дана функция 
а) Решите уравнение 
б) Найдите наибольшую длину промежутка монотонности функции f.
в) Сколько решений (в зависимости от a) имеет уравнение 
г) Рассмотрим тело, ограниченное плоскостями 
и поверхностью, получаемой при вращении графика функции f вокруг прямой 
(лежащей в плоскости Oxy). При каком m объем этого тела будет наименьшим?
тогда 
Получаем
или 
Первое невозможно, поскольку 
Второе же дает 
где 
Ясно что 
поэтому 
Отсюда следует, что подходит только 
Функция 
непрерывна. Найдем ее корни, тогда на промежутках между ними она знакопостоянна. Тогда 
и 
При этом на соседних промежутках знаки различны: 
получаем 
и 
поэтому 
Осталось выбрать из этих промежутков самый длинный. Очевидно это первый, его длина составляет 
возрастает на 
и 
и 
и 
Таким образом, мы знаем наименьшее и наибольшее значение на каждом промежутке монотонности и, значит, знаем и все принимаемые значения.
— ни одного решения. При 
— одно решение. При 
— три решения. При 
— четыре решения. При 
— два решения. При 
— ни одного решения.
поэтому сечением тела будет круг радиуса 
и площади 
и объем тела будет равен
Поэтому ответ равен 
Задание парного варианта: 2071
Дана функция 
а) Пусть a = 1. Решите уравнение 
б) Найдите все такие a, при которых 
в) Найдите все такие a, для которых 
при всех 
г) Найдите все такие a, при которых график функции f имеет центр симметрии.
и преобразуем его:
(поскольку с периодичностью 
повторяются корни всех трех уравнений), чтобы потом не выписать один и тот же корень дважды. Получим 0; 
0; 
После удаления повторов получим 
и 
где 
тогда
Тогда
т. е. 
Обозначим 
тогда
Поскольку 
то вместе с каждым подходящим a подходит и 
поэтому можно исследовать только 
Кроме того, при 
получим 
поэтому 
получим 
и 
при всех 
Поэтому неравенство выполнено.
получим 
поэтому точка 
в которой нарушается неравенство, тоже попадет среди чисел вида ax при 
Такие a не подходят.
длина промежутка 
составит 
или 
Поэтому все точки большего по длине промежутка не могут подходить в неравенство.
график — горизонтальная прямая. Она имеет центр симметрии. В остальных случаях снова сделаем замену
представляющее собой квадратный трехчлен. Поэтому множество его значений при 
устроено так — наибольшее значение он имеет при 
и оно равно 
поэтому наименьшее значение это −2.
сжатием вдоль оси абсцисс в a раз. Это сжатие не влияет на наличие или отсутствие центра симметрии. Поэтому либо при всех 
есть центр симметрии, либо его нет. Будем теперь считать, что 
В них обеих функция принимает наибольшее значение, а расстояние между ними составляет 
После центральной симметрии они должны превратиться в две точки, где функция принимает наименьшее значение, отстоящие друг от друга на такое же расстояние. Но точки, 
Противоречие.
где 
Задание парного варианта: 2015
Пройти тестирование по этим заданиям