РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 1978

2.  Дана функция $y = косинус 2x плюс косинус x минус 4 косинус в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби .$

а)  Выразите y как функцию от $косинус x.$

б)  Решите уравнение $y = минус 3.$

в)  Докажите, что при всех значениях x выполняется неравенство $y меньше или равно 0.$

г)  Сколько корней в зависимости от a имеет уравнение $y = a$ на отрезке $левая квадратная скобка 0; Пи правая квадратная скобка ?$

Спрятать решение

Решение.

а)  Имеем:

$косинус 2x плюс косинус x минус 4 косинус в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = 2 косинус в квадрате x минус 1 плюс косинус x минус 2 левая круглая скобка 1 плюс косинус x правая круглая скобка = 2 косинус в квадрате x минус косинус x минус 3,$ $косинус 2x плюс косинус x минус 4 косинус в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби =$
$= 2 косинус в квадрате x минус 1 плюс косинус x минус 2 левая круглая скобка 1 плюс косинус x правая круглая скобка = 2 косинус в квадрате x минус косинус x минус 3,$ $косинус 2x плюс косинус x минус 4 косинус в квадрате дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби =$
$= 2 косинус в квадрате x минус 1 плюс косинус x минус 2 левая круглая скобка 1 плюс косинус x правая круглая скобка =$
$= 2 косинус в квадрате x минус косинус x минус 3,$

поэтому $g левая круглая скобка t правая круглая скобка = 2t в квадрате минус t минус 3.$

б)  Имеем:

$2 косинус в квадрате x минус косинус x минус 3 = минус 3 равносильно совокупность выражений косинус x = 0, косинус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .$

в)  Так как $| косинус x| меньше или равно 1,$ то

$2 косинус в квадрате x минус косинус x минус 3 = левая круглая скобка 2 косинус x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка косинус x плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно 0.$

г)  Сделаем замену $t = косинус x.$ Косинус монотонен на отрезке $левая квадратная скобка 0; Пи правая квадратная скобка ,$ поэтому число решений данного уравнения на этом отрезке совпадает с числом решений уравнения $2t в квадрате минус t минус 3 = a$ на отрезке $левая квадратная скобка минус 1; 1 правая квадратная скобка ,$ то есть с числом точек пересечения прямой $y = a$ с графиком функции g, где $g левая круглая скобка t правая круглая скобка = 2t в квадрате минус t минус 3,$ $t принадлежит левая квадратная скобка минус 1; 1 правая квадратная скобка$ (см. рис.).

Ответ: а)  $g левая круглая скобка t правая круглая скобка = 2t в квадрате минус t минус 3;$ б)  $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ г)  нет решений при $a меньше минус дробь: числитель: 25, знаменатель: 8 конец дроби ,$ $a больше 0,$ одно решение при $a = минус дробь: числитель: 25, знаменатель: 8 конец дроби ,$ $минус 2 меньше a меньше или равно 0,$ два при $минус дробь: числитель: 25, знаменатель: 8 конец дроби меньше a меньше или равно минус 2.$

Задание парного варианта: 2000

? Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1990 год, вариант 1

? Классификатор: Тригонометрические неравенства, Тригонометрические уравнения

Сложность: 11 из 10

Спрятать решение · Прототип задания · Помощь