Дана функция 
а) Решите уравнение 
б) Найдите наибольшую длину промежутка монотонности функции f.
в) Сколько решений (в зависимости от a) имеет уравнение 
г) Дано тело, ограниченное плоскостями 
и поверхностью, получаемой при вращении графика функции f вокруг прямой 
лежащей в плоскости Oxy. При каком m объем этого тела наименьший?
а) Единственное затруднение состоит в том, чтобы понять, какое (какие) из чисел 
лежат в отрезке 
что опять-таки проще сделать геометрически (см. рис.). Заметим также, что в этой задаче не обойтись без знания определения арксинуса.
б) Стандартная задача на применение производной. Требуется найти отрезок наибольшей длины, на котором 
сохраняла бы знак:
и знаки производной распределяются так, как показано на рисунке. Так что наибольший отрезок монотонности — 
в) Ответ очевиден из графика (см. рис.). Для его построения в дополнение к проведенному в предыдущем пункте вычислению нужно лишь найти значения функции f в точках 0, 
и 
Заметим, что решение этого уравнения при помощи замены 
требует дополнительного исследования, поскольку неотрицательным значениям t (отличным от единицы) соответствуют два значения x из промежутка а отрицательным — лишь одно.
г) Чрезвычайно простая задача, которая тем не менее вызвала затруднения непривычностью своей формулировки. Объем тела, полученного при вращении графика 
вокруг указанной прямой, есть
Это выражение является квадратичной функцией от m, следовательно, оно наименьшее при 
В данном случае
Ответ: а) 
б) 
в) одно решение при 
два — при 
три — при 
и четыре решения, если 
при остальных значениях a уравнение решений не имеет; г) 
Задание парного варианта: 2010