Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2015

Дана функция f(x)= косинус ax плюс косинус 2ax.

а) Пусть a=1. Решите уравнение f(x)=f(3x).

б) Найдите все такие a, при которых f левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка больше 0.

в) Найдите все такие a, при которых f(x) больше 0 при всех x принадлежит левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

г) Найдите все такие a, при которых график функции f имеет центр симметрии.

Спрятать решение

Решение.

а) Уравнение  косинус x плюс косинус 2x= косинус 3x плюс косинус 6x приводится к виду

 косинус дробь: числитель: 3x, знаменатель: 2 конец дроби синус 2x синус дробь: числитель: 5x, знаменатель: 2 конец дроби =0.

б) Сделав в неравенстве  косинус дробь: числитель: Пи a, знаменатель: 2 конец дроби плюс косинус Пи a больше 0 замену z= косинус дробь: числитель: Пи a, знаменатель: 2 конец дроби , получим 2z в квадрате плюс z минус 1 больше 0.

в) Часть графика функции y= косинус x плюс косинус 2x изображена на рисунке, график функции f (при a больше 0) получается сжатием (растяжением). Поэтому f(x) больше 0 на  левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка , если  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3a конец дроби больше дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , т. е. 0 меньше a меньше дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби . Далее, f(x)=2 при a=0, и так как функция f четна, отсюда следует ответ.

г) Ясно, что при a=0 график функции f — прямая y=2 — имеет центр симметрии. В случае a не равно 0 удобно сделать замену ax=u. Точка (u_0, y_0) — центр симметрии графика функции y= косинус u плюс косинус 2u, если

 косинус (u_0 плюс u) плюс косинус 2(u_0 плюс u) плюс косинус (u_0 минус u) плюс косинус 2(u_0 минус u)=2y_0,

или

 2 косинус u_0 косинус u плюс 2 косинус 2u_0 косинус 2u=2y_0.

Заметим, что c_1 косинус u плюс c_2 косинус 2u=\rm const только при c_1=c_2=0. Значит,  косинус u_0=0 и  косинус 2u_0=0, а эта система несовместна.

 

Ответ: а) \left \ дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 2 Пи k, знаменатель: 5 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи k, знаменатель: 3 конец дроби : k принадлежит \Bbb Z \; б)  левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби плюс 4k; дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби плюс 4k правая круглая скобка , k принадлежит \Bbb Z; в) |a| меньше дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ; г) 0.


Задание парного варианта: 2020

? Источник: Профильно-элитарный выпускной экзамен по математике. Санкт-Петербург, 1994 год, вариант 1
? Классификатор: Тригонометрические неравенства, Тригонометрические уравнения , Уравнения с параметром
?
Сложность: 11 из 10