Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2015
i

Дана функ­ция f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­си­нус ax плюс ко­си­нус 2ax.

а)  Пусть a=1. Ре­ши­те урав­не­ние f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =f левая круг­лая скоб­ка 3x пра­вая круг­лая скоб­ка .

б)  Най­ди­те все такие a, при ко­то­рых f левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0.

в)  Най­ди­те все такие a, при ко­то­рых f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0 при всех x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

г)  Най­ди­те все такие a, при ко­то­рых гра­фик функ­ции f имеет центр сим­мет­рии.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Урав­не­ние  ко­си­нус x плюс ко­си­нус 2x= ко­си­нус 3x плюс ко­си­нус 6x при­во­дит­ся к виду

 ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 3x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус 2x синус дробь: чис­ли­тель: 5x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =0.

б)  Сде­лав в не­ра­вен­стве  ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи a, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс ко­си­нус Пи a боль­ше 0 за­ме­ну z= ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи a, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , по­лу­чим 2z в квад­ра­те плюс z минус 1 боль­ше 0.

в)  Часть гра­фи­ка функ­ции y= ко­си­нус x плюс ко­си­нус 2x изоб­ра­же­на на ри­сун­ке, гра­фик функ­ции f (при a боль­ше 0) по­лу­ча­ет­ся сжа­ти­ем (рас­тя­же­ни­ем). По­это­му f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0 на  левая квад­рат­ная скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , если  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3a конец дроби боль­ше дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , т. е. 0 мень­ше a мень­ше дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . Далее, f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =2 при a=0, и так как функ­ция f четна, от­сю­да сле­ду­ет ответ.

г)  Ясно, что при a=0 гра­фик функ­ции f  — пря­мая y=2  — имеет центр сим­мет­рии. В слу­чае a не равно 0 удоб­но сде­лать за­ме­ну ax=u. Точка  левая круг­лая скоб­ка u_0, y_0 пра­вая круг­лая скоб­ка   — центр сим­мет­рии гра­фи­ка функ­ции y= ко­си­нус u плюс ко­си­нус 2u, если

 ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка u_0 плюс u пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ко­си­нус 2 левая круг­лая скоб­ка u_0 плюс u пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка u_0 минус u пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ко­си­нус 2 левая круг­лая скоб­ка u_0 минус u пра­вая круг­лая скоб­ка =2y_0,

или

 2 ко­си­нус u_0 ко­си­нус u плюс 2 ко­си­нус 2u_0 ко­си­нус 2u=2y_0.

За­ме­тим, что c_1 ко­си­нус u плюс c_2 ко­си­нус 2u=\rm const толь­ко при c_1=c_2=0. Зна­чит,  ко­си­нус u_0=0 и  ко­си­нус 2u_0=0, а эта си­сте­ма не­сов­мест­на.

 

Ответ: а)  левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 2 Пи k, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2 Пи k, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби : k при­над­ле­жит \Bbb Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б)  левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 4k; дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 4k пра­вая круг­лая скоб­ка , k при­над­ле­жит \Bbb Z; в) |a| мень­ше дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; г) 0.


Задание парного варианта: 2020

? Источник: Про­филь­но-эли­тар­ный вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Санкт-Пе­тер­бург, 1994 год, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Три­го­но­мет­ри­че­ские не­ра­вен­ства, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния , Урав­не­ния с па­ра­мет­ром
?
Сложность: 11 из 10