Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2005
i

Дана функ­ция  f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = синус x синус 3x.

а)  Ре­ши­те урав­не­ние  f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

б)  Най­ди­те наи­мень­шее по­ло­жи­тель­ное ре­ше­ние си­сте­мы  си­сте­ма вы­ра­же­ний f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = 0, ко­си­нус 5x = 1. конец си­сте­мы .

в)  Най­ди­те об­ласть зна­че­ний функ­ции f.

г)  Пусть  g левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка   — наи­мень­шее зна­че­ние f на от­рез­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка t; t плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции g на мно­же­стве ве­ще­ствен­ных чисел.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Сде­ла­ем сна­ча­ла пре­об­ра­зо­ва­ние

 синус 3x синус x = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус 2x минус ко­си­нус 4x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка минус 2 ко­си­нус в квад­ра­те 2x плюс ко­си­нус 2x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

б)  Если  синус x синус 3x = 0, то  x = дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . Под­ста­вив его во вто­рое урав­не­ние, по­лу­чим ра­вен­ство  ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи k, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = 1. Наи­мень­шее по­ло­жи­тель­ное k, при ко­то­ром оно верно,  — это  k = 6.

в)  Об­ласть зна­че­ний дан­ной функ­ции сов­па­да­ет с мно­же­ством зна­че­ний функ­ции  g левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка минус 2t в квад­ра­те плюс t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка при  t при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус 1; 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

г)  Функ­ция  синус 3x об­ра­ща­ет­ся в ноль на любом от­рез­ке дли­ной  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , по­это­му

 g левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка \equiv \min левая фи­гур­ная скоб­ка синус x синус 3x \mid x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка t; t плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка пра­вая фи­гур­ная скоб­ка мень­ше или равно 0

при всех дей­стви­тель­ных t. Но  синус x синус 3x боль­ше или равно 0 на  левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , по­это­му  g левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = 0, так что наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции g равно нулю.

 

Ответ: а)  левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс Пи k; минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс Пи k : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б)  2 Пи ; в)  левая квад­рат­ная скоб­ка минус 1; дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка ; г)  0.


Задание парного варианта: 2027

? Источник: Про­филь­но-эли­тар­ный вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Санкт-Пе­тер­бург, 1991 год, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Три­го­но­мет­ри­че­ские не­ра­вен­ства, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
?
Сложность: 11 из 10